Номер 630, страница 184 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 630, страница 184.

630 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ

Тест по математике для 7 класса содержит 10 заданий, в которых из четырёх предложенных ответов нужно выбрать один верный. Допустим, что кто-либо из семиклассников, ничего не зная, будет просто наугад отмечать один из ответов. Сколько вариантов выбора ответов у него существует? Сколько вариантов выбора ответов наугад существует для теста, в котором $n$ заданий и для каждого задания предлагается 3 ответа? $n$ заданий и для каждого задания предлагается $m$ ответов?

Сколько вариантов выбора ответов у него существует?

Эта задача решается с помощью правила умножения из комбинаторики. У нас есть 10 независимых событий (выбор ответа на каждое из 10 заданий). Для каждого события существует 4 возможных исхода (4 варианта ответа).
Чтобы найти общее количество вариантов, нужно перемножить количество выборов для каждого задания:
$N_1 = \underbrace{4 \times 4 \times \dots \times 4}_{10 \text{ раз}} = 4^{10}$
Теперь вычислим это значение:
$4^{10} = (2^2)^{10} = 2^{20} = (2^{10})^2 = 1024^2 = 1\,048\,576$.

Ответ: $1\,048\,576$ вариантов.

Сколько вариантов выбора ответов наугад существует для теста, в котором $n$ заданий и для каждого задания предлагается 3 ответа?

В данном случае мы обобщаем задачу. Количество заданий теперь равно $n$, а количество вариантов ответа для каждого задания — 3.
Рассуждая аналогично первому пункту, мы снова применяем правило умножения. Для каждого из $n$ заданий есть 3 варианта выбора. Общее количество вариантов будет:
$N_2 = \underbrace{3 \times 3 \times \dots \times 3}_{n \text{ раз}} = 3^n$.
Так как $n$ не задано конкретным числом, ответ остаётся в виде формулы.

Ответ: $3^n$ вариантов.

Сколько вариантов выбора ответов наугад существует для теста, в котором $n$ заданий и для каждого задания предлагается $m$ ответов?

Это наиболее общий случай. В тесте $n$ заданий, и для каждого из них предлагается $m$ вариантов ответа.
По правилу умножения, общее количество способов выбрать ответы на все задания равно произведению числа вариантов для каждого из $n$ заданий.
$N_3 = \underbrace{m \times m \times \dots \times m}_{n \text{ раз}} = m^n$.
Эта формула является общей для подобных задач.

Ответ: $m^n$ вариантов.