Страница 184 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

627 Сколько шестизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 4, 5, 6, 8, используя в числе каждую цифру только один раз? Сколько среди них чётных чисел и сколько нечётных?

Сколько шестизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 4, 5, 6, 8, используя в числе каждую цифру только один раз?

Нам дано 6 различных цифр: {1, 2, 4, 5, 6, 8}. Необходимо составить из них шестизначные числа, причем каждая цифра должна использоваться ровно один раз. Это классическая задача на нахождение числа перестановок, так как важен порядок цифр и все они участвуют в составлении числа.

Число перестановок из $n$ элементов вычисляется по формуле $P_n = n!$.

В нашем случае количество цифр $n=6$. Следовательно, общее количество возможных шестизначных чисел равно числу перестановок из 6 элементов:

$P_6 = 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$.

Ответ: 720 чисел.

Сколько среди них чётных чисел и сколько нечётных?

Количество чётных чисел:

Число является чётным, если его последняя цифра — чётная. В предоставленном наборе цифр {1, 2, 4, 5, 6, 8} есть 4 чётные цифры: {2, 4, 6, 8}.

1. Начнем с последней цифры числа. На это место можно поставить любую из 4-х чётных цифр. Таким образом, у нас есть 4 варианта выбора.

2. После того как последняя цифра выбрана, у нас остается 5 цифр. Эти 5 цифр нужно расставить на оставшиеся 5 позиций (с первой по пятую). Число способов сделать это равно числу перестановок из 5 элементов, то есть $P_5 = 5!$.

$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.

3. По правилу произведения в комбинаторике, общее количество чётных чисел равно произведению числа способов выбора последней цифры на число способов расстановки остальных цифр:

$4 \times 5! = 4 \times 120 = 480$.

Количество нечётных чисел:

Число является нечётным, если его последняя цифра — нечётная. В нашем наборе есть 2 нечётные цифры: {1, 5}.

1. На последнюю позицию в числе можно поставить одну из 2-х нечётных цифр. Таким образом, есть 2 варианта выбора.

2. Оставшиеся 5 цифр можно расставить на 5 свободных местах $5! = 120$ способами.

3. Общее количество нечётных чисел равно:

$2 \times 5! = 2 \times 120 = 240$.

Для проверки можно сложить количество чётных и нечётных чисел: $480 + 240 = 720$. Это число совпадает с общим количеством шестизначных чисел, найденным ранее.

Ответ: 480 чётных чисел и 240 нечётных чисел.

628 Команда из шести гимнасток готовится к выполнению упражнения на брусьях. Сколькими способами можно установить их очерёдность, если:

а) Ира должна выступить первой;

б) Ира должна выступить первой, а Зоя — последней;

в) Ира и Зоя должны выступать одна за другой;

г) Ира должна выступать первой или второй?

Данная задача относится к разделу комбинаторики и решается с использованием формулы перестановок. Всего в команде 6 гимнасток, и нам нужно найти количество способов установить их очерёдность при различных условиях.

а) Ира должна выступить первой;

Если место Иры зафиксировано (первое), то нам остаётся определить порядок выступления остальных $6 - 1 = 5$ гимнасток. Количество способов, которыми можно расставить 5 человек по 5 местам, равно числу перестановок из 5 элементов, то есть $P_5$.
Вычисляем факториал числа 5:
$P_5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$
Таким образом, существует 120 способов установить очерёдность, если Ира выступает первой.
Ответ: 120

б) Ира должна выступить первой, а Зоя — последней;

В этом случае у нас зафиксированы два места: первое для Иры и последнее (шестое) для Зои. Остаётся распределить оставшихся $6 - 2 = 4$ гимнасток по оставшимся 4 местам (со второго по пятое). Количество таких способов равно числу перестановок из 4 элементов, то есть $P_4$.
Вычисляем факториал числа 4:
$P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$
Следовательно, существует 24 способа установить очерёдность при данных условиях.
Ответ: 24

в) Ира и Зоя должны выступать одна за другой;

Рассмотрим пару "Ира и Зоя" как единый неделимый объект. Тогда нам нужно расставить 5 объектов: этот единый блок и оставшихся 4 гимнасток. Количество перестановок из 5 объектов равно $P_5 = 5!$.
Внутри самого блока "Ира и Зоя" гимнастки могут располагаться двумя способами: "Ира, затем Зоя" или "Зоя, затем Ира" (это $2! = 2$ способа).
Чтобы найти общее количество способов, нужно умножить количество перестановок блоков на количество перестановок внутри блока, согласно правилу произведения:
$N = P_5 \times 2! = 5! \times 2 = 120 \times 2 = 240$
Значит, есть 240 способов, при которых Ира и Зоя выступают друг за другом.
Ответ: 240

г) Ира должна выступать первой или второй?

Это задача на применение правила сложения, так как случаи, когда Ира выступает первой и когда она выступает второй, являются взаимоисключающими.
1. Случай 1: Ира выступает первой. Как мы выяснили в пункте а), для этого существует $P_5 = 5! = 120$ способов.
2. Случай 2: Ира выступает второй. В этом случае её место также зафиксировано. Остальных 5 гимнасток нужно расставить на оставшиеся 5 мест (первое, третье, четвертое, пятое и шестое). Количество способов для этого также равно $P_5 = 5! = 120$.
Поскольку эти два случая не могут произойти одновременно, общее количество способов равно сумме способов для каждого случая:
$N = 120 + 120 = 240$
Другой способ рассуждения: у Иры есть 2 варианта для выбора места (1-е или 2-е). Для каждого из этих вариантов остальных 5 гимнасток можно расставить $5!$ способами. Общее число способов: $2 \times 5! = 2 \times 120 = 240$.
Ответ: 240

629 На скамью надо посадить трёх мальчиков и трёх девочек так, чтобы мальчик и девочка чередовались. Сколькими способами можно рассадить детей таким образом?

Указание. Посадите мальчиков сначала на чётные места, а потом на нечётные.

Для решения задачи необходимо определить общее количество мест и рассмотреть все возможные варианты рассадки с чередованием мальчиков и девочек. Всего на скамье 6 мест (3 для мальчиков + 3 для девочек). Чередование возможно двумя способами: рассадка начинается либо с мальчика, либо с девочки.

1. Рассадка, начинающаяся с мальчика (М-Д-М-Д-М-Д)
В этом случае мальчики должны сидеть на нечётных местах (1, 3, 5), а девочки — на чётных (2, 4, 6).
Количество способов рассадить трёх мальчиков на трёх отведённых им местах равно числу перестановок из трёх элементов. Это вычисляется как факториал числа 3:
$P_м = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ способов.
Аналогично, количество способов рассадить трёх девочек на трёх отведённых им чётных местах также равно числу перестановок из трёх элементов:
$P_д = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ способов.
Согласно правилу произведения в комбинаторике, общее количество способов для этого варианта рассадки равно произведению числа способов рассадки мальчиков и девочек:
$N_1 = P_м \times P_д = 6 \times 6 = 36$ способов.

2. Рассадка, начинающаяся с девочки (Д-М-Д-М-Д-М)
В этом случае девочки должны сидеть на нечётных местах (1, 3, 5), а мальчики — на чётных (2, 4, 6).
Количество способов рассадить трёх девочек на трёх нечётных местах:
$P_д = 3! = 6$ способов.
Количество способов рассадить трёх мальчиков на трёх чётных местах:
$P_м = 3! = 6$ способов.
Общее количество способов для этого варианта рассадки:
$N_2 = P_д \times P_м = 6 \times 6 = 36$ способов.

Общее количество способов
Итоговое количество способов рассадить детей с чередованием равно сумме количеств способов для обоих рассмотренных случаев, так как эти случаи взаимоисключающие.
$N_{общ} = N_1 + N_2 = 36 + 36 = 72$ способа.

Ответ: 72

630 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ

Тест по математике для 7 класса содержит 10 заданий, в которых из четырёх предложенных ответов нужно выбрать один верный. Допустим, что кто-либо из семиклассников, ничего не зная, будет просто наугад отмечать один из ответов. Сколько вариантов выбора ответов у него существует? Сколько вариантов выбора ответов наугад существует для теста, в котором $n$ заданий и для каждого задания предлагается 3 ответа? $n$ заданий и для каждого задания предлагается $m$ ответов?

Сколько вариантов выбора ответов у него существует?

Эта задача решается с помощью правила умножения из комбинаторики. У нас есть 10 независимых событий (выбор ответа на каждое из 10 заданий). Для каждого события существует 4 возможных исхода (4 варианта ответа).
Чтобы найти общее количество вариантов, нужно перемножить количество выборов для каждого задания:
$N_1 = \underbrace{4 \times 4 \times \dots \times 4}_{10 \text{ раз}} = 4^{10}$
Теперь вычислим это значение:
$4^{10} = (2^2)^{10} = 2^{20} = (2^{10})^2 = 1024^2 = 1\,048\,576$.

Ответ: $1\,048\,576$ вариантов.

Сколько вариантов выбора ответов наугад существует для теста, в котором $n$ заданий и для каждого задания предлагается 3 ответа?

В данном случае мы обобщаем задачу. Количество заданий теперь равно $n$, а количество вариантов ответа для каждого задания — 3.
Рассуждая аналогично первому пункту, мы снова применяем правило умножения. Для каждого из $n$ заданий есть 3 варианта выбора. Общее количество вариантов будет:
$N_2 = \underbrace{3 \times 3 \times \dots \times 3}_{n \text{ раз}} = 3^n$.
Так как $n$ не задано конкретным числом, ответ остаётся в виде формулы.

Ответ: $3^n$ вариантов.

Сколько вариантов выбора ответов наугад существует для теста, в котором $n$ заданий и для каждого задания предлагается $m$ ответов?

Это наиболее общий случай. В тесте $n$ заданий, и для каждого из них предлагается $m$ вариантов ответа.
По правилу умножения, общее количество способов выбрать ответы на все задания равно произведению числа вариантов для каждого из $n$ заданий.
$N_3 = \underbrace{m \times m \times \dots \times m}_{n \text{ раз}} = m^n$.
Эта формула является общей для подобных задач.

Ответ: $m^n$ вариантов.

АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ (631–633)

631 Игральный кубик подбрасывают 5 раз и каждый раз записывают число выпавших очков. Результатом эксперимента является последовательность из пяти цифр.

а) Каково число возможных результатов эксперимента?

б) Сколько существует результатов эксперимента, в которых ни разу не встречается шестёрка?

в) Сколько существует результатов эксперимента, в которых хотя бы раз встречается шестёрка?

а) Каково число возможных результатов эксперимента?

Эксперимент состоит из 5 независимых бросков игрального кубика. При каждом броске возможно 6 различных исходов (числа от 1 до 6). Результат эксперимента — это упорядоченная последовательность из 5 чисел.

Для первой позиции в последовательности есть 6 вариантов. Для второй позиции в последовательности также 6 вариантов. И так далее для всех пяти позиций.

Общее число возможных результатов находится по правилу произведения. Это соответствует числу размещений с повторениями из 6 элементов по 5. Формула для этого: $N = n^k$, где $n=6$ (число граней кубика), а $k=5$ (число бросков).
$N = 6^5 = 6 \times 6 \times 6 \times 6 \times 6 = 7776$.

Ответ: 7776.

б) Сколько существует результатов эксперимента, в которых ни разу не встречается шестёрка?

Если в результатах не должно быть шестёрки, то для каждого из 5 бросков возможны только 5 исходов: {1, 2, 3, 4, 5}.

Таким образом, для каждой из пяти позиций в последовательности есть 5 вариантов. По аналогии с пунктом а), общее число таких результатов равно:
$N_{без\_6} = 5^5 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 3125$.

Ответ: 3125.

в) Сколько существует результатов эксперимента, в которых хотя бы раз встречается шестёрка?

Событие "хотя бы раз встречается шестёрка" является противоположным (дополнительным) событию "ни разу не встречается шестёрка".

Все возможные результаты эксперимента можно разделить на две группы, не пересекающиеся между собой:
1. Результаты, в которых шестёрка не встречается ни разу.
2. Результаты, в которых шестёрка встречается хотя бы один раз.

Следовательно, чтобы найти количество результатов, в которых шестёрка встречается хотя бы раз, нужно из общего числа всех возможных результатов вычесть число результатов, в которых шестёрка не встречается.
Общее число результатов было найдено в пункте а) и равно $N_{всего} = 7776$.
Число результатов без шестёрки было найдено в пункте б) и равно $N_{без\_6} = 3125$.

Тогда число результатов, в которых шестёрка встречается хотя бы раз, равно:
$N_{хотя\_бы\_1\_шестерка} = N_{всего} - N_{без\_6} = 6^5 - 5^5 = 7776 - 3125 = 4651$.

Ответ: 4651.

632 Сколько существует четырёхзначных чисел, в записи которых встречается хотя бы одна чётная цифра?

Решение:

Для решения этой задачи удобнее использовать метод от противного. Мы найдем общее количество всех четырехзначных чисел, а затем найдем количество четырехзначных чисел, которые НЕ удовлетворяют условию, то есть тех, в записи которых нет ни одной четной цифры (все цифры нечетные). После этого вычтем второе из первого, и результат будет искомым числом.

1. Найдем общее количество четырехзначных чисел. Четырехзначные числа — это целые числа от 1000 до 9999. Первая цифра (разряд тысяч) может быть любой от 1 до 9 (9 вариантов), так как число не может начинаться с 0. Вторая, третья и четвертая цифры могут быть любыми от 0 до 9 (по 10 вариантов для каждой). Общее количество четырехзначных чисел равно произведению количества вариантов для каждой цифры: $N_{общ} = 9 \times 10 \times 10 \times 10 = 9000$ чисел.

2. Найдем количество четырехзначных чисел, в записи которых все цифры нечетные. Нечетные цифры, которые мы можем использовать: {1, 3, 5, 7, 9}. Всего их 5. Для того чтобы число состояло только из нечетных цифр, каждая из его четырех цифр должна быть нечетной. - Для первой цифры есть 5 вариантов (1, 3, 5, 7, 9). - Для второй цифры есть 5 вариантов (1, 3, 5, 7, 9). - Для третьей цифры есть 5 вариантов (1, 3, 5, 7, 9). - Для четвертой цифры есть 5 вариантов (1, 3, 5, 7, 9). Количество таких чисел равно: $N_{нечет} = 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^4 = 625$ чисел.

3. Найдем количество четырехзначных чисел, в которых встречается хотя бы одна четная цифра. Для этого из общего количества четырехзначных чисел вычтем количество чисел, состоящих только из нечетных цифр: $N = N_{общ} - N_{нечет} = 9000 - 625 = 8375$ чисел.

Ответ: 8375

633 Сколько существует десятизначных чисел, в записи которых имеются хотя бы две одинаковые цифры?

Для решения этой задачи воспользуемся методом от противного. Сначала найдем общее количество всех десятизначных чисел, а затем вычтем из него количество десятизначных чисел, в которых все цифры различны. Результатом будет количество чисел, в которых есть хотя бы две одинаковые цифры.

1. Найдем общее количество десятизначных чисел.

Десятизначное число состоит из 10 цифр. На первом месте может стоять любая цифра от 1 до 9 (всего 9 вариантов), так как число не может начинаться с нуля. На каждом из следующих девяти мест может стоять любая цифра от 0 до 9 (10 вариантов для каждой позиции).

Следовательно, общее количество десятизначных чисел $N_{общ}$ равно:

$N_{общ} = 9 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 9 \cdot 10^9 = 9 000 000 000$

2. Найдем количество десятизначных чисел, в которых все цифры различны.

Такое число должно содержать все 10 цифр (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) ровно по одному разу. Это задача на перестановки с ограничением.

• На первую позицию можно поставить любую из 9 цифр (все, кроме 0).
• На вторую позицию можно поставить любую из оставшихся 9 цифр (теперь 0 использовать можно).
• На третью позицию — любую из оставшихся 8 цифр.
• ...и так далее, до последней позиции, на которую останется 1 цифра.

Количество таких чисел $N_{разл}$ можно вычислить как:

$N_{разл} = 9 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 9 \cdot 9!$

Рассчитаем значение факториала:

$9! = 362 880$

Теперь найдем $N_{разл}$:

$N_{разл} = 9 \cdot 362 880 = 3 265 920$

3. Найдем искомое количество чисел.

Чтобы найти количество десятизначных чисел, в которых имеются хотя бы две одинаковые цифры, нужно из общего количества десятизначных чисел вычесть количество чисел, в которых все цифры различны.

$N = N_{общ} - N_{разл} = 9 000 000 000 - 3 265 920 = 8 996 734 080$

Ответ: 8 996 734 080