Страница 187 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

17 Какому из выражений равна сумма $5^n + 5^n + 5^n + 5^n + 5^n$?

1) $5^{n+1}$

2) $5^{5n}$

3) $(5^n)^5$

4) $5^{n+5}$

Данное выражение представляет собой сумму пяти одинаковых слагаемых $5^n$:
$5^n + 5^n + 5^n + 5^n + 5^n$
Сложение одинаковых слагаемых можно заменить умножением. В данном случае мы складываем 5 одинаковых членов, поэтому сумму можно записать как произведение числа 5 на член $5^n$:
$5 \cdot 5^n$
Далее используем свойство степеней, согласно которому при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $a^m \cdot a^k = a^{m+k}$.
Число 5 можно представить как степень $5^1$. Тогда наше выражение примет вид:
$5^1 \cdot 5^n = 5^{1+n}$
Результат можно также записать как $5^{n+1}$.
Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он соответствует варианту ответа под номером 1.

Ответ: 1)

18 Сколько можно составить двузначных чисел, у которых в разряде десятков записана чётная цифра, а в разряде единиц — нечётная?

Для решения данной задачи нужно определить количество возможных цифр для каждого разряда (десятков и единиц) в двузначном числе, а затем использовать правило умножения из комбинаторики.

1. Выбор цифры для разряда десятков.
По условию, в разряде десятков должна быть записана чётная цифра. К чётным цифрам относятся {0, 2, 4, 6, 8}.
Однако, первая цифра двузначного числа не может быть 0. Поэтому для разряда десятков мы можем выбрать одну из следующих цифр: {2, 4, 6, 8}.
Таким образом, существует 4 варианта для цифры в разряде десятков.

2. Выбор цифры для разряда единиц.
По условию, в разряде единиц должна быть записана нечётная цифра. К нечётным цифрам относятся {1, 3, 5, 7, 9}.
Таким образом, существует 5 вариантов для цифры в разряде единиц.

3. Расчёт общего количества чисел.
Чтобы найти общее количество таких двузначных чисел, необходимо перемножить количество вариантов для разряда десятков и количество вариантов для разряда единиц.
Число возможных комбинаций = (количество вариантов для десятков) × (количество вариантов для единиц).
Выполним вычисление:$4 \times 5 = 20$

Следовательно, можно составить 20 двузначных чисел, удовлетворяющих заданным условиям.

Ответ: 20

19 На вечеринке присутствовало 8 человек, и каждый с каждым обменялись фотографией. Сколько всего фотографий для этого понадобилось?

Для решения этой задачи необходимо определить общее количество актов передачи фотографий. Условие "каждый с каждым обменялись фотографией" означает, что если есть два человека, А и Б, то А дает фотографию Б, и Б дает фотографию А.

Рассмотрим задачу с точки зрения одного человека. Всего на вечеринке 8 человек. Каждый человек должен отдать свою фотографию всем остальным присутствующим. Количество людей, которым один человек должен отдать фотографию, равно общему числу людей минус он сам: $8 - 1 = 7$.

Таким образом, каждый из 8 человек отдает по 7 фотографий. Чтобы найти общее количество фотографий, нужно умножить количество человек на количество фотографий, которые отдает каждый:

$8 \text{ человек} \times 7 \text{ фотографий} = 56 \text{ фотографий}$.

Эту же задачу можно решить с помощью формул комбинаторики. Нам нужно найти количество упорядоченных пар, которые можно составить из 8 человек. Это является классической задачей нахождения числа размещений без повторений. Формула для числа размещений из $n$ элементов по $k$ выглядит так:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В нашем случае общее количество людей $n=8$, а в каждом акте обмена участвуют двое, то есть мы составляем пары, поэтому $k=2$. Подставим значения в формулу:

$A_8^2 = \frac{8!}{(8-2)!} = \frac{8!}{6!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 = 56$.

Оба метода дают одинаковый результат.

Ответ: 56.

20 В среду в 6 классе 5 уроков. Сколькими способами можно составить расписание на этот день, если 2 из этих уроков — математика и они должны идти один за другим, а остальные уроки по разным предметам?

1) $3!$

2) $4!$

3) $5!$

4) $6!$

Для решения этой задачи воспользуемся методами комбинаторики, в частности, понятием перестановок с учётом заданных ограничений.

1. Упрощение задачи
Согласно условию, в расписании всего 5 уроков. Два из них — уроки математики, которые должны обязательно идти подряд. Это ключевое ограничение. Чтобы учесть его, мы можем мысленно "склеить" эти два урока в один большой блок. Будем рассматривать эту пару уроков математики как один неделимый элемент расписания.

2. Определение количества перестанавливаемых элементов
После того как мы объединили два урока математики в один блок, общее количество элементов, которые нужно расставить в расписании, уменьшилось. Теперь нам нужно составить расписание из следующих элементов:

• Один сдвоенный блок математики.
• Три других урока, которые, по условию, являются разными предметами.

Таким образом, мы имеем 4 различных элемента, которые нужно расположить в определенном порядке.

3. Расчет количества способов
Задача сводится к нахождению числа всех возможных перестановок из 4 различных элементов. Число перестановок из $n$ элементов вычисляется по формуле $n!$ (n-факториал).
В нашем случае $n=4$, поэтому количество возможных вариантов расписания равно:
$P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.

Стоит отметить, что порядок уроков математики внутри "склеенного" блока не имеет значения, так как в условии они оба названы "математика" и, следовательно, считаются неразличимыми. Если бы это были разные дисциплины (например, алгебра и геометрия), то полученный результат нужно было бы умножить на 2.

Итак, существует 24 способа составить расписание на этот день.

Ответ: 24.