Номер 19, страница 187 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Проверьте себя (тест). Чему вы научились. Глава 6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 19, страница 187.

19 На вечеринке присутствовало 8 человек, и каждый с каждым обменялись фотографией. Сколько всего фотографий для этого понадобилось?

Для решения этой задачи необходимо определить общее количество актов передачи фотографий. Условие "каждый с каждым обменялись фотографией" означает, что если есть два человека, А и Б, то А дает фотографию Б, и Б дает фотографию А.

Рассмотрим задачу с точки зрения одного человека. Всего на вечеринке 8 человек. Каждый человек должен отдать свою фотографию всем остальным присутствующим. Количество людей, которым один человек должен отдать фотографию, равно общему числу людей минус он сам: $8 - 1 = 7$.

Таким образом, каждый из 8 человек отдает по 7 фотографий. Чтобы найти общее количество фотографий, нужно умножить количество человек на количество фотографий, которые отдает каждый:

$8 \text{ человек} \times 7 \text{ фотографий} = 56 \text{ фотографий}$.

Эту же задачу можно решить с помощью формул комбинаторики. Нам нужно найти количество упорядоченных пар, которые можно составить из 8 человек. Это является классической задачей нахождения числа размещений без повторений. Формула для числа размещений из $n$ элементов по $k$ выглядит так:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В нашем случае общее количество людей $n=8$, а в каждом акте обмена участвуют двое, то есть мы составляем пары, поэтому $k=2$. Подставим значения в формулу:

$A_8^2 = \frac{8!}{(8-2)!} = \frac{8!}{6!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 = 56$.

Оба метода дают одинаковый результат.

Ответ: 56.