Номер 13, страница 186 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Проверьте себя (тест). Чему вы научились. Глава 6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 13, страница 186.

13 Вычислите $\frac{7^5 \cdot (7^4)^2}{(7^5)^3}$

Для вычисления значения выражения $ \frac{7^5 \cdot (7^4)^2}{(7^5)^3} $ необходимо последовательно применить свойства степеней.

1. В первую очередь упростим выражения в числителе и знаменателе, где степень возводится в степень. Для этого используем свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
В числителе: $(7^4)^2 = 7^{4 \cdot 2} = 7^8$.
В знаменателе: $(7^5)^3 = 7^{5 \cdot 3} = 7^{15}$.

2. Подставим полученные значения обратно в дробь: $$ \frac{7^5 \cdot 7^8}{7^{15}} $$

3. Теперь упростим числитель, используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $$ 7^5 \cdot 7^8 = 7^{5+8} = 7^{13} $$

4. После упрощения числителя выражение примет вид: $$ \frac{7^{13}}{7^{15}} $$

5. Далее применим свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$: $$ \frac{7^{13}}{7^{15}} = 7^{13-15} = 7^{-2} $$

6. Наконец, по определению степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, вычислим окончательный результат: $$ 7^{-2} = \frac{1}{7^2} = \frac{1}{49} $$

Ответ: $\frac{1}{49}$.