Номер 16, страница 186 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Проверьте себя (тест). Чему вы научились. Глава 6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 16, страница 186.

16 Какое из следующих неравенств неверно?

1) $9^{10} < 3^{21}$

2) $9^{10} < 5^{20}$

3) $6^{10} < 3^{20}$

4) $6^{10} < 2^{20}$

Для того чтобы определить, какое из неравенств неверно, проанализируем каждое из них, приводя степени к общему основанию или общему показателю.

1) $9^{10} < 3^{21}$
Приведем левую часть неравенства к основанию 3. Поскольку $9 = 3^2$, мы можем переписать левую часть:
$9^{10} = (3^2)^{10}$
Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем:
$(3^2)^{10} = 3^{2 \cdot 10} = 3^{20}$
Теперь неравенство принимает вид: $3^{20} < 3^{21}$.
Так как основание степени $3 > 1$, то чем больше показатель степени, тем больше значение. Поскольку $20 < 21$, неравенство $3^{20} < 3^{21}$ является верным.
Ответ: верно.

2) $9^{10} < 5^{20}$
Приведем степени к общему показателю 10. Правую часть можно представить в виде:
$5^{20} = 5^{2 \cdot 10} = (5^2)^{10} = 25^{10}$
Теперь сравним $9^{10}$ и $25^{10}$.
Так как показатели степеней равны (10), а основания — положительные числа, то больше то число, у которого больше основание. Поскольку $9 < 25$, то $9^{10} < 25^{10}$.
Следовательно, исходное неравенство $9^{10} < 5^{20}$ является верным.
Ответ: верно.

3) $6^{10} < 3^{20}$
Приведем степени к общему показателю 10, как и в предыдущем пункте.
$3^{20} = 3^{2 \cdot 10} = (3^2)^{10} = 9^{10}$
Сравниваем $6^{10}$ и $9^{10}$.
Показатели степеней равны, а основания положительны. Так как $6 < 9$, то $6^{10} < 9^{10}$.
Следовательно, исходное неравенство $6^{10} < 3^{20}$ является верным.
Ответ: верно.

4) $6^{10} < 2^{20}$
Снова приведем степени к общему показателю 10.
$2^{20} = 2^{2 \cdot 10} = (2^2)^{10} = 4^{10}$
Сравниваем $6^{10}$ и $4^{10}$.
Показатели степеней равны, а основания положительны. Так как $6 > 4$, то должно выполняться неравенство $6^{10} > 4^{10}$.
Следовательно, исходное неравенство $6^{10} < 2^{20}$ (которое эквивалентно $6^{10} < 4^{10}$) является неверным.
Ответ: неверно.

Таким образом, неверным является неравенство под номером 4.