Номер 14, страница 186 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Проверьте себя (тест). Чему вы научились. Глава 6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 14, страница 186.

14 Найдите значение выражения $\frac{8^2 \cdot 9^5}{6^8}$.

1) $\frac{1}{24}$

2) $2\frac{1}{4}$

3) $1\frac{1}{2}$

4) 1296

Чтобы найти значение выражения, преобразуем числитель и знаменатель дроби, разложив основания степеней на простые множители.

Основание 8 можно представить как $2^3$.

Основание 9 можно представить как $3^2$.

Основание 6 можно представить как произведение $2 \cdot 3$.

Подставим эти значения в исходное выражение:

$\frac{8^2 \cdot 9^5}{6^8} = \frac{(2^3)^2 \cdot (3^2)^5}{(2 \cdot 3)^8}$

Теперь воспользуемся свойствами степеней. При возведении степени в степень показатели перемножаются ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$), а при возведении произведения в степень в эту степень возводится каждый множитель ($(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$).

$\frac{2^{3 \cdot 2} \cdot 3^{2 \cdot 5}}{2^8 \cdot 3^8} = \frac{2^6 \cdot 3^{10}}{2^8 \cdot 3^8}$

Далее применим правило деления степеней с одинаковым основанием ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$):

$\frac{2^6}{2^8} \cdot \frac{3^{10}}{3^8} = 2^{6-8} \cdot 3^{10-8} = 2^{-2} \cdot 3^2$

Вычислим полученное значение. Учтем, что $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

$2^{-2} \cdot 3^2 = \frac{1}{2^2} \cdot 9 = \frac{1}{4} \cdot 9 = \frac{9}{4}$

Переведем неправильную дробь $\frac{9}{4}$ в смешанное число:

$\frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}$

Этот результат соответствует варианту ответа под номером 2.

Ответ: $2\frac{1}{4}$