Страница 185 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

1 Сформулируйте определение степени с натуральным показателем.

1

Степенью числа a с натуральным показателем n, большим единицы, называется выражение $a^n$, значение которого равно произведению n множителей, каждый из которых равен a.

Математически это записывается так:
$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ множителей}}$ , где $n \in \mathbb{N}$ и $n > 1$.

В этом выражении:

• a – это основание степени (число, которое умножается само на себя).
• n – это показатель степени (число, которое показывает, сколько раз основание умножается само на себя).

Если показатель степени равен 1, то степень числа a равна самому числу a:
$a^1 = a$

Например, вычислим $3^4$:
$3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$.
Здесь 3 – это основание, 4 – показатель, а 81 – значение степени.

Ответ: Степенью числа a с натуральным показателем n ($a^n$) называется произведение n множителей, каждый из которых равен a. Отдельно определяется случай, когда $n=1$: степенью числа a с показателем 1 является само число a ($a^1 = a$).

2 Сформулируйте и проиллюстрируйте на примере правило умножения степеней с одинаковыми основаниями. Докажите соответствующее свойство степени.

Сформулируйте правило умножения степеней с одинаковыми основаниями

При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют без изменений, а показатели степеней складывают.

В общем виде это правило записывается следующей формулой:

$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

где $a$ – любое число (основание степени), а $m$ и $n$ – любые натуральные числа (показатели степени).

Ответ: Чтобы умножить степени с одинаковыми основаниями, нужно основание оставить прежним, а показатели степеней сложить.

Проиллюстрируйте на примере правило умножения степеней с одинаковыми основаниями

Рассмотрим произведение степеней $5^2$ и $5^3$.

Согласно определению степени, имеем:

$5^2 = 5 \cdot 5$

$5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5$

Тогда их произведение равно:

$5^2 \cdot 5^3 = (5 \cdot 5) \cdot (5 \cdot 5 \cdot 5) = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^5$

Теперь применим правило умножения степеней с одинаковыми основаниями:

$5^2 \cdot 5^3 = 5^{2+3} = 5^5$

Результаты совпадают, что наглядно демонстрирует справедливость правила.

Ответ: Пример: $5^2 \cdot 5^3 = 5^{2+3} = 5^5$, так как $(5 \cdot 5) \cdot (5 \cdot 5 \cdot 5) = 5^5$.

Докажите соответствующее свойство степени

Необходимо доказать, что для любого числа $a$ и любых натуральных чисел $m$ и $n$ выполняется равенство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Воспользуемся определением степени с натуральным показателем. Степень числа $a$ с показателем $k$ – это произведение $k$ множителей, каждый из которых равен $a$.

Запишем $a^m$ и $a^n$ в виде произведений:

$a^m = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{m \text{ множителей}}$

$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ множителей}}$

Теперь перемножим эти выражения:

$a^m \cdot a^n = (\underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{m \text{ множителей}}) \cdot (\underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ множителей}})$

Раскрыв скобки, мы получим произведение, состоящее из одинаковых множителей $a$. Общее число множителей будет равно сумме числа множителей в первом и втором выражениях, то есть $m+n$.

$a^m \cdot a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{m+n \text{ множителей}}$

По определению степени, такое произведение равно $a^{m+n}$.

Таким образом, мы доказали, что $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство основано на определении степени. Произведение $a^m \cdot a^n$ представляет собой произведение, в котором множитель $a$ встречается сначала $m$ раз, а затем еще $n$ раз. В итоге получается произведение, содержащее $m+n$ множителей $a$, что по определению равно $a^{m+n}$.

3 Сформулируйте и проиллюстрируйте на примере правило деления степеней с одинаковыми основаниями. Докажите соответствующее свойство степени.

Сформулируйте правило деления степеней с одинаковыми основаниями

Чтобы разделить степени с одинаковыми основаниями, нужно основание оставить тем же, а из показателя степени делимого вычесть показатель степени делителя.

Для любого числа $a$, не равного нулю ($a \neq 0$), и для любых натуральных чисел $m$ и $n$ справедливо равенство:
$a^m : a^n = a^{m-n}$

Ответ: При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют тем же, а показатели вычитают: $a^m : a^n = a^{m-n}$ (при $a \neq 0$).

Проиллюстрируйте на примере правило деления степеней с одинаковыми основаниями

Рассмотрим пример: найти частное от деления $3^5$ на $3^2$.

Используя правило, получаем:
$3^5 : 3^2 = 3^{5-2} = 3^3 = 27$

Проверим результат, вычислив значения степеней по отдельности:
$3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243$
$3^2 = 3 \cdot 3 = 9$
$243 : 9 = 27$.
Результаты совпадают.

Также можно представить деление в виде дроби и сократить одинаковые множители:
$\frac{3^5}{3^2} = \frac{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}{3 \cdot 3} = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^3 = 27$

Ответ: Пример: $3^5 : 3^2 = 3^{5-2} = 3^3 = 27$.

Докажите соответствующее свойство степени

Необходимо доказать, что для любого числа $a \neq 0$ и любых натуральных чисел $m$ и $n$ (при условии $m > n$) справедливо равенство:
$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$

По определению степени с натуральным показателем:
$a^m = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{m \text{ множителей}}$
$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ множителей}}$

Рассмотрим их частное в виде дроби:
$\frac{a^m}{a^n} = \frac{\overbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}^{m \text{ множителей}}}{\underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ множителей}}}$

Так как $a \neq 0$ и $m > n$, мы можем сократить дробь на $n$ множителей $a$. После сокращения в числителе останется $m - n$ множителей $a$:
$\frac{\overbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}^{m \text{ множителей}}}{\underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ множителей}}} = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{m-n \text{ множителей}}$

Согласно определению степени, произведение $m-n$ множителей, каждый из которых равен $a$, есть $a^{m-n}$.

Таким образом, мы показали, что $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ доказано на основе определения степени и правила сокращения дробей.

4 Сформулируйте и проиллюстрируйте на примере правило возведения степени в степень. Докажите соответствующее свойство степени.

Сформулируйте правило возведения степени в степень

Чтобы возвести степень в степень, необходимо основание степени оставить без изменений, а показатели степеней перемножить.

В виде формулы это правило записывается так:

$(a^n)^m = a^{n \cdot m}$

где $a$ – любое число, а $n$ и $m$ – любые натуральные числа.

Ответ: При возведении степени в степень основание остается тем же, а показатели перемножаются: $(a^n)^m = a^{nm}$.

Проиллюстрируйте на примере правило возведения степени в степень

Рассмотрим, как возвести степень $(3^2)$ в третью степень. То есть, найдем значение выражения $(3^2)^3$.

Способ 1: По определению степени.

Выражение $(3^2)^3$ означает, что основание $3^2$ нужно умножить само на себя 3 раза:

$(3^2)^3 = 3^2 \cdot 3^2 \cdot 3^2$

Теперь, согласно правилу умножения степеней с одинаковым основанием, мы должны сложить их показатели:

$3^2 \cdot 3^2 \cdot 3^2 = 3^{2+2+2} = 3^6$

Вычислим значение: $3^6 = 729$.

Способ 2: По правилу возведения степени в степень.

Оставляем основание $3$ без изменений и перемножаем показатели степеней $2$ и $3$:

$(3^2)^3 = 3^{2 \cdot 3} = 3^6$

Вычислим значение: $3^6 = 729$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату, что иллюстрирует справедливость правила.

Ответ: Пример: $(3^2)^3 = 3^{2 \cdot 3} = 3^6$.

Докажите соответствующее свойство степени

Необходимо доказать, что для любого числа $a$ и любых натуральных чисел $n$ и $m$ выполняется равенство: $(a^n)^m = a^{nm}$.

1. Рассмотрим левую часть равенства $(a^n)^m$. По определению степени с натуральным показателем $m$, это выражение представляет собой произведение $m$ множителей, каждый из которых равен $a^n$.

$(a^n)^m = \underbrace{a^n \cdot a^n \cdot \ldots \cdot a^n}_{m \text{ раз}}$

2. Теперь воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием ($a^x \cdot a^y = a^{x+y}$). Применим его к полученному произведению. Основание $a$ останется прежним, а показатели степеней сложатся:

$\underbrace{a^n \cdot a^n \cdot \ldots \cdot a^n}_{m \text{ раз}} = a^{\overbrace{n+n+\ldots+n}^{m \text{ раз}}}$

3. Сумма $m$ слагаемых, каждое из которых равно $n$, по определению умножения натуральных чисел есть произведение $n \cdot m$.

$a^{\overbrace{n+n+\ldots+n}^{m \text{ раз}}} = a^{nm}$

4. Таким образом, мы преобразовали левую часть равенства к правой: $(a^n)^m = a^{nm}$. Свойство доказано.

Ответ: Доказательство основано на последовательном применении определения степени и правила умножения степеней с одинаковым основанием: $(a^n)^m = \underbrace{a^n \cdot \ldots \cdot a^n}_{m \text{ раз}} = a^{\overbrace{n+\ldots+n}^{m \text{ раз}}} = a^{nm}$.

5 Сформулируйте и проиллюстрируйте на примере правило возведения в степень произведения. Докажите соответствующее свойство степени.

Сформулируйте правило возведения в степень произведения

Чтобы возвести произведение в степень, необходимо возвести в эту степень каждый из множителей, а затем перемножить полученные результаты.
В виде формулы это свойство для двух множителей записывается так: $(ab)^n = a^n b^n$.
Это правило справедливо для любого количества множителей, например: $(abc)^n = a^n b^n c^n$.

Ответ: Правило гласит, что степень произведения равна произведению степеней его множителей с тем же показателем.

Проиллюстрируйте на примере

Рассмотрим, как можно вычислить значение выражения $(2 \cdot 5)^3$.
Способ 1. Сначала вычислим произведение в скобках, а затем возведем результат в степень:
$(2 \cdot 5)^3 = 10^3 = 1000$.
Способ 2. Применим правило возведения произведения в степень: возведем в степень каждый множитель и перемножим результаты:
$(2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3 = 8 \cdot 125 = 1000$.
Оба способа приводят к одинаковому результату, что подтверждает верность правила.

Ответ: Пример: $(2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3 = 8 \cdot 125 = 1000$. Прямое вычисление дает тот же результат: $(2 \cdot 5)^3 = 10^3 = 1000$.

Докажите соответствующее свойство степени

Необходимо доказать тождество $(ab)^n = a^n b^n$ для любых чисел $a$ и $b$ и любого натурального числа $n$.

Доказательство:
1. Используем определение степени с натуральным показателем. Выражение $x^n$ представляет собой произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $x$.
Таким образом, выражение $(ab)^n$ — это произведение, в котором множитель $(ab)$ повторяется $n$ раз:
$(ab)^n = \underbrace{(ab) \cdot (ab) \cdot \dots \cdot (ab)}_{n \text{ раз}}$

2. В силу переместительного (коммутативного) и сочетательного (ассоциативного) законов умножения, мы можем изменить порядок множителей и сгруппировать их: сначала записать все множители $a$, а затем все множители $b$.
$\underbrace{(ab) \cdot (ab) \cdot \dots \cdot (ab)}_{n \text{ раз}} = \underbrace{(a \cdot a \cdot \dots \cdot a)}_{n \text{ раз}} \cdot \underbrace{(b \cdot b \cdot \dots \cdot b)}_{n \text{ раз}}$

3. Снова воспользуемся определением степени: произведение $n$ множителей $a$ равно $a^n$, а произведение $n$ множителей $b$ равно $b^n$.
$\underbrace{(a \cdot a \cdot \dots \cdot a)}_{n \text{ раз}} = a^n$
$\underbrace{(b \cdot b \cdot \dots \cdot b)}_{n \text{ раз}} = b^n$

4. Подставив эти выражения обратно в наше равенство, получаем:
$(ab)^n = a^n b^n$.
Тождество доказано.

Ответ: Доказательство основано на определении степени с натуральным показателем и свойствах умножения, которые позволяют перегруппировать множители: $(ab)^n = \underbrace{(ab) \cdot \dots \cdot (ab)}_{n} = \underbrace{(a \cdot \dots \cdot a)}_{n} \cdot \underbrace{(b \cdot \dots \cdot b)}_{n} = a^n b^n$.

6 Сформулируйте и проиллюстрируйте на примере правило возведения в степень дроби. Докажите соответствующее свойство степени.

Сформулируйте и проиллюстрируйте на примере правило возведения в степень дроби.

Правило: чтобы возвести дробь в степень, необходимо возвести в эту степень и числитель, и знаменатель дроби, после чего первый результат записать в числитель новой дроби, а второй — в ее знаменатель.

В виде формулы это правило записывается так: $ (\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n} $, где $a$ и $b$ — любые числа (при условии $b \neq 0$), а $n$ — натуральное число.

Пример:

Возведем дробь $ \frac{2}{5} $ в третью степень:

$ (\frac{2}{5})^3 = \frac{2^3}{5^3} = \frac{8}{125} $

Если проверить вычисление по определению степени, результат будет тем же:

$ (\frac{2}{5})^3 = \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2}{5 \cdot 5 \cdot 5} = \frac{8}{125} $

Ответ: Правило возведения дроби в степень: $ (\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n} $. Пример: $ (\frac{2}{5})^3 = \frac{8}{125} $.

Докажите соответствующее свойство степени.

Докажем тождество $ (\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n} $ для любого натурального числа $n$ и любых чисел $a$ и $b$ (где $b \neq 0$).

Доказательство:

1. По определению степени с натуральным показателем, выражение $x^n$ является произведением $n$ множителей, каждый из которых равен $x$. Применим это определение к дроби $ \frac{a}{b} $:

$ (\frac{a}{b})^n = \underbrace{\frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b} \cdot \dots \cdot \frac{a}{b}}_{n \text{ раз}} $

2. По правилу умножения дробей, произведение нескольких дробей равно дроби, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей:

$ \underbrace{\frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b} \cdot \dots \cdot \frac{a}{b}}_{n \text{ раз}} = \frac{\underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ раз}}}{\underbrace{b \cdot b \cdot \dots \cdot b}_{n \text{ раз}}} $

3. Произведение $n$ множителей, равных $a$, по определению степени есть $a^n$. Аналогично, произведение $n$ множителей, равных $b$, есть $b^n$.

$ \frac{\underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ раз}}}{\underbrace{b \cdot b \cdot \dots \cdot b}_{n \text{ раз}}} = \frac{a^n}{b^n} $

Таким образом, мы приходим к равенству $ (\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n} $, что и требовалось доказать.

Ответ: Свойство доказывается на основе определения степени с натуральным показателем и правила умножения дробей, что приводит к цепочке равенств: $ (\frac{a}{b})^n = \underbrace{\frac{a}{b} \cdot \ldots \cdot \frac{a}{b}}_{n} = \frac{\underbrace{a \cdot \ldots \cdot a}_{n}}{\underbrace{b \cdot \ldots \cdot b}_{n}} = \frac{a^n}{b^n} $.

7 Запишите формулу для подсчёта числа перестановок. Приведите пример задачи, в которой нужно подсчитать число перестановок.

Формула для подсчёта числа перестановок

Перестановка — это комбинаторное соединение, представляющее собой упорядоченный набор из $n$ различных элементов. Иными словами, перестановки отвечают на вопрос «сколькими способами можно переставить $n$ объектов?».

Число всех возможных перестановок из $n$ элементов обозначается как $P_n$ и вычисляется по формуле n-факториала. Факториал числа $n$ (обозначается $n!$) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$.

Формула для подсчета числа перестановок: $P_n = n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n$

По определению также принимается, что $0! = 1$.

Ответ: $P_n = n!$

Пример задачи, в которой нужно подсчитать число перестановок

Условие задачи:
На тренировке по лёгкой атлетике 6 спортсменов готовятся к забегу на 100 метров. Сколькими различными способами их можно расставить по 6 беговым дорожкам?

Решение:
В этой задаче нам нужно найти общее количество возможных порядков расположения 6 различных спортсменов на 6 дорожках. Каждый такой порядок является перестановкой.

Количество элементов для перестановки $n=6$.

Чтобы найти общее количество способов, воспользуемся формулой числа перестановок:

$P_6 = 6!$

Теперь вычислим значение факториала:

$6! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 720$

Таким образом, существует 720 различных способов расставить 6 спортсменов по дорожкам.

Ответ: 720 способами.

1 Выполните действие, воспользовавшись соответствующим свойством степени:

a) $a^5 \cdot a^3$;

б) $a^8 : a^6$;

в) $(a^2)^4$;

г) $(ab)^6$;

д) $(\frac{a}{b})^3$.

а) Для умножения степеней с одинаковым основанием используется свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Применяя это свойство, мы складываем показатели степеней, так как основания одинаковы.

Решение: $a^5 \cdot a^3 = a^{5+3} = a^8$.

Ответ: $a^8$.

б) Для деления степеней с одинаковым основанием используется свойство $a^m : a^n = a^{m-n}$. В данном случае необходимо вычесть показатель степени делителя из показателя степени делимого.

Решение: $a^8 : a^6 = a^{8-6} = a^2$.

Ответ: $a^2$.

в) При возведении степени в степень используется свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Показатели степеней перемножаются, а основание остается прежним.

Решение: $(a^2)^4 = a^{2 \cdot 4} = a^8$.

Ответ: $a^8$.

г) Для возведения произведения в степень используется свойство $(ab)^n = a^n b^n$. Каждый множитель в скобках нужно возвести в эту степень.

Решение: $(ab)^6 = a^6 b^6$.

Ответ: $a^6 b^6$.

д) Для возведения дроби (частного) в степень используется свойство $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$ (при $b \neq 0$). Необходимо возвести в эту степень и числитель, и знаменатель дроби.

Решение: $(\frac{a}{b})^3 = \frac{a^3}{b^3}$.

Ответ: $\frac{a^3}{b^3}$.

2 Выполните действие:

а) $a^2 \cdot a^n$

б) $a^n : a^2$

в) $(a^n)^2$

а) Чтобы умножить степени с одинаковым основанием, необходимо основание оставить без изменений, а показатели степеней сложить. Это соответствует свойству степеней: $x^m \cdot x^k = x^{m+k}$.
Применим это правило к данному выражению:
$a^2 \cdot a^n = a^{2+n}$.
Ответ: $a^{2+n}$.

б) Чтобы разделить степени с одинаковым основанием, необходимо основание оставить без изменений, а из показателя степени делимого вычесть показатель степени делителя. Это соответствует свойству степеней: $x^m : x^k = x^{m-k}$.
Применим это правило к данному выражению:
$a^n : a^2 = a^{n-2}$.
Ответ: $a^{n-2}$.

в) Чтобы возвести степень в степень, необходимо основание оставить без изменений, а показатели степеней перемножить. Это соответствует свойству степеней: $(x^m)^k = x^{m \cdot k}$.
Применим это правило к данному выражению:
$(a^n)^2 = a^{n \cdot 2} = a^{2n}$.
Ответ: $a^{2n}$.

3 Упростите выражение:

а) $x^4 \cdot (x^3)^2$;

б) $\frac{x^2 x^9}{x^5}$.

а) Для того чтобы упростить выражение $x^4 \cdot (x^3)^2$, необходимо последовательно применить свойства степеней.

Сначала используем правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ для выражения в скобках:

$(x^3)^2 = x^{3 \cdot 2} = x^6$

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$x^4 \cdot x^6$

Далее, воспользуемся правилом умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, согласно которому показатели степеней складываются:

$x^4 \cdot x^6 = x^{4+6} = x^{10}$

Ответ: $x^{10}$

б) Для упрощения выражения $\frac{x^2 x^9}{x^5}$ сначала выполним действие в числителе.

Используем правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$x^2 \cdot x^9 = x^{2+9} = x^{11}$

Теперь выражение имеет вид:

$\frac{x^{11}}{x^5}$

Далее, используем правило деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, согласно которому из показателя степени числителя вычитается показатель степени знаменателя:

$\frac{x^{11}}{x^5} = x^{11-5} = x^6$

Ответ: $x^6$

4 Вычислите:

а) $\frac{5^4 \cdot 5^5}{5^7}$;

б) $0,2^{10} \cdot 5^{10}$;

в) $\frac{10^6}{5^6}$;

г) $\frac{8^{20}}{2^{62}}$.

а)

Чтобы вычислить значение выражения $\frac{5^4 \cdot 5^5}{5^7}$, используем свойства степеней.

1. Упростим числитель дроби. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$5^4 \cdot 5^5 = 5^{4+5} = 5^9$

2. Теперь разделим результат на знаменатель. При делении степеней с одинаковым основанием из показателя делимого вычитается показатель делителя: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

$\frac{5^9}{5^7} = 5^{9-7} = 5^2$

3. Вычислим полученное значение:

$5^2 = 25$

Ответ: 25

б)

Для вычисления значения выражения $0,2^{10} \cdot 5^{10}$ воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковыми показателями: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.

1. Объединим основания под общим показателем степени:

$0,2^{10} \cdot 5^{10} = (0,2 \cdot 5)^{10}$

2. Вычислим произведение в скобках:

$0,2 \cdot 5 = 1$

3. Подставим результат обратно в выражение:

$1^{10} = 1$

Ответ: 1

в)

Для вычисления значения выражения $\frac{10^6}{5^6}$ воспользуемся свойством деления степеней с одинаковыми показателями: $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$.

1. Представим дробь как степень частного:

$\frac{10^6}{5^6} = (\frac{10}{5})^6$

2. Вычислим частное в скобках:

$\frac{10}{5} = 2$

3. Возведем результат в степень:

$2^6 = 64$

Ответ: 64

г)

Для вычисления значения выражения $\frac{8^{20}}{2^{62}}$ необходимо привести степени к одному основанию.

1. Основание 8 можно представить как степень числа 2, так как $8 = 2^3$.

2. Подставим это выражение в числитель дроби:

$\frac{(2^3)^{20}}{2^{62}}$

3. Упростим числитель, используя свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(2^3)^{20} = 2^{3 \cdot 20} = 2^{60}$

4. Теперь выражение выглядит следующим образом:

$\frac{2^{60}}{2^{62}}$

5. Применим свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{2^{60}}{2^{62}} = 2^{60-62} = 2^{-2}$

6. Воспользуемся определением степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$

5 Упростите выражение:

a) $-3xy^3 \cdot 2xy^2$

б) $(-2a^2b)^3$

в) $(-x^3y^2)^4$

а) Для упрощения выражения $-3xy^3 \cdot 2xy^2$ необходимо перемножить одночлены. Сначала перемножаем числовые коэффициенты, а затем переменные с одинаковыми основаниями, складывая их показатели степеней.
Выполним умножение коэффициентов: $-3 \cdot 2 = -6$.
Затем перемножим переменные: $x \cdot x = x^1 \cdot x^1 = x^{1+1} = x^2$ и $y^3 \cdot y^2 = y^{3+2} = y^5$.
Объединим результаты: $-3xy^3 \cdot 2xy^2 = -6x^2y^5$.
Ответ: $-6x^2y^5$

б) Для упрощения выражения $(-2a^2b)^3$ необходимо возвести одночлен в степень. Для этого нужно возвести в эту степень каждый множитель одночлена. При возведении степени в степень показатели перемножаются.
Возводим в куб коэффициент: $(-2)^3 = -8$.
Возводим в куб переменные: $(a^2)^3 = a^{2 \cdot 3} = a^6$ и $(b)^3 = b^{1 \cdot 3} = b^3$.
Объединим результаты: $(-2a^2b)^3 = -8a^6b^3$.
Ответ: $-8a^6b^3$

в) Для упрощения выражения $(-x^3y^2)^4$ необходимо возвести одночлен в степень. Так как степень четная (4), то знак минус исчезнет (отрицательное число в четной степени становится положительным). Затем возводим в степень каждую переменную, перемножая показатели.
Учитываем знак: $(-1)^4 = 1$.
Возводим в степень переменные: $(x^3)^4 = x^{3 \cdot 4} = x^{12}$ и $(y^2)^4 = y^{2 \cdot 4} = y^8$.
Объединим результаты: $(-x^3y^2)^4 = x^{12}y^8$.
Ответ: $x^{12}y^8$

6 Сократите дробь:

а) $\frac{c^5 \cdot x^2}{c^3 x}$;

б) $\frac{12a^3c}{18a^2c^3}$.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{c^5 \cdot x^2}{c^3 x}$, необходимо разделить числитель и знаменатель на их общие множители. Будем использовать свойство степеней: при делении степеней с одинаковыми основаниями их показатели вычитаются ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$).

Разделим степени с основанием $c$:
$\frac{c^5}{c^3} = c^{5-3} = c^2$

Теперь разделим степени с основанием $x$, помня, что $x = x^1$:
$\frac{x^2}{x} = \frac{x^2}{x^1} = x^{2-1} = x^1 = x$

Перемножим полученные результаты:
$c^2 \cdot x = c^2x$

Таким образом, исходная дробь сокращается до $c^2x$.

Ответ: $c^2x$

б) Чтобы сократить дробь $\frac{12a^3c}{18a^2c^3}$, мы сократим отдельно числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями.

Сначала сократим числовые коэффициенты 12 и 18. Их наибольший общий делитель равен 6:
$\frac{12}{18} = \frac{12 \div 6}{18 \div 6} = \frac{2}{3}$

Теперь сократим степени с основанием $a$:
$\frac{a^3}{a^2} = a^{3-2} = a^1 = a$

И, наконец, сократим степени с основанием $c$ (учитывая, что $c = c^1$):
$\frac{c}{c^3} = \frac{c^1}{c^3} = c^{1-3} = c^{-2} = \frac{1}{c^2}$

Теперь соберем все части вместе: числовой коэффициент в числителе — 2, в знаменателе — 3; переменная $a$ остается в числителе; переменная $c^2$ — в знаменателе.
$\frac{2 \cdot a}{3 \cdot c^2} = \frac{2a}{3c^2}$

Ответ: $\frac{2a}{3c^2}$

7 Сколько существует трёхзначных чисел, составленных из нечётных цифр (все цифры в записи числа различны)?

Для решения этой задачи необходимо определить, сколько трёхзначных чисел можно составить, используя только нечётные цифры, при условии, что все цифры в числе должны быть различными.

Сначала выпишем все нечётные цифры. Это: 1, 3, 5, 7, 9. Всего у нас есть 5 таких цифр.

Трёхзначное число состоит из трёх позиций: сотен, десятков и единиц. Мы будем последовательно определять, сколько вариантов есть для заполнения каждой позиции.

1. На позицию сотен (первая цифра) можно поставить любую из 5 нечётных цифр. Таким образом, у нас есть 5 вариантов.

2. На позицию десятков (вторая цифра) можно поставить любую из оставшихся нечётных цифр. Поскольку по условию все цифры должны быть различны, мы не можем использовать ту цифру, которую уже поставили на место сотен. Следовательно, у нас остаётся $5 - 1 = 4$ варианта.

3. На позицию единиц (третья цифра) можно поставить любую из тех цифр, которые ещё не были использованы. Две цифры уже заняты (на позициях сотен и десятков), поэтому остаётся $5 - 2 = 3$ варианта.

Чтобы найти общее количество возможных трёхзначных чисел, нужно перемножить количество вариантов для каждой позиции, согласно комбинаторному правилу произведения:
$5 \times 4 \times 3 = 60$.

Альтернативно, эту задачу можно решить с помощью формулы для числа размещений без повторений, так как нам важен порядок цифр в числе (например, 135 и 315 — это разные числа). Формула размещений из $n$ элементов по $k$ имеет вид:
$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$
В нашем случае $n=5$ (количество нечётных цифр) и $k=3$ (количество цифр в числе).
$A_5^3 = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60$.

Ответ: 60.

8 Сколькими способами можно построить в ряд 5 человек?

Данная задача является классической задачей по комбинаторике на нахождение числа перестановок. Нам нужно определить, сколькими различными способами можно расположить 5 человек в один ряд. Поскольку важен порядок расположения людей, мы имеем дело с перестановками.

Число способов, которыми можно упорядочить $n$ различных объектов, называется числом перестановок и вычисляется по формуле $n$-факториал:
$P_n = n!$
где $n!$ — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$.

В нашем случае количество человек $n = 5$.

Можно представить процесс выбора следующим образом:
- На первое место в ряду мы можем поставить любого из 5 человек (5 вариантов).
- Когда первый человек выбран, на второе место остается 4 кандидата (4 варианта).
- На третье место остается 3 человека (3 варианта).
- На четвертое место — 2 человека (2 варианта).
- На последнее, пятое место, остается только 1 человек (1 вариант).

Чтобы найти общее количество способов, необходимо перемножить число вариантов для каждой позиции в ряду. Это соответствует вычислению факториала числа 5:
$P_5 = 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$

Выполним вычисления:
$5! = 20 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 60 \cdot 2 \cdot 1 = 120 \cdot 1 = 120$

Таким образом, существует 120 различных способов построить 5 человек в ряд.

Ответ: 120