Номер 4, страница 185 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо уметь (обязательные результаты обучения). Чему вы научились. Глава 6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 4, страница 185.

4 Вычислите:

а) $\frac{5^4 \cdot 5^5}{5^7}$;

б) $0,2^{10} \cdot 5^{10}$;

в) $\frac{10^6}{5^6}$;

г) $\frac{8^{20}}{2^{62}}$.

а)

Чтобы вычислить значение выражения $\frac{5^4 \cdot 5^5}{5^7}$, используем свойства степеней.

1. Упростим числитель дроби. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$5^4 \cdot 5^5 = 5^{4+5} = 5^9$

2. Теперь разделим результат на знаменатель. При делении степеней с одинаковым основанием из показателя делимого вычитается показатель делителя: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

$\frac{5^9}{5^7} = 5^{9-7} = 5^2$

3. Вычислим полученное значение:

$5^2 = 25$

Ответ: 25

б)

Для вычисления значения выражения $0,2^{10} \cdot 5^{10}$ воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковыми показателями: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.

1. Объединим основания под общим показателем степени:

$0,2^{10} \cdot 5^{10} = (0,2 \cdot 5)^{10}$

2. Вычислим произведение в скобках:

$0,2 \cdot 5 = 1$

3. Подставим результат обратно в выражение:

$1^{10} = 1$

Ответ: 1

в)

Для вычисления значения выражения $\frac{10^6}{5^6}$ воспользуемся свойством деления степеней с одинаковыми показателями: $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$.

1. Представим дробь как степень частного:

$\frac{10^6}{5^6} = (\frac{10}{5})^6$

2. Вычислим частное в скобках:

$\frac{10}{5} = 2$

3. Возведем результат в степень:

$2^6 = 64$

Ответ: 64

г)

Для вычисления значения выражения $\frac{8^{20}}{2^{62}}$ необходимо привести степени к одному основанию.

1. Основание 8 можно представить как степень числа 2, так как $8 = 2^3$.

2. Подставим это выражение в числитель дроби:

$\frac{(2^3)^{20}}{2^{62}}$

3. Упростим числитель, используя свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(2^3)^{20} = 2^{3 \cdot 20} = 2^{60}$

4. Теперь выражение выглядит следующим образом:

$\frac{2^{60}}{2^{62}}$

5. Применим свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{2^{60}}{2^{62}} = 2^{60-62} = 2^{-2}$

6. Воспользуемся определением степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$