Номер 5, страница 185 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо знать (основные теоретические сведения). Чему вы научились. Глава 6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 5, страница 185.

5 Сформулируйте и проиллюстрируйте на примере правило возведения в степень произведения. Докажите соответствующее свойство степени.

Сформулируйте правило возведения в степень произведения

Чтобы возвести произведение в степень, необходимо возвести в эту степень каждый из множителей, а затем перемножить полученные результаты.
В виде формулы это свойство для двух множителей записывается так: $(ab)^n = a^n b^n$.
Это правило справедливо для любого количества множителей, например: $(abc)^n = a^n b^n c^n$.

Ответ: Правило гласит, что степень произведения равна произведению степеней его множителей с тем же показателем.

Проиллюстрируйте на примере

Рассмотрим, как можно вычислить значение выражения $(2 \cdot 5)^3$.
Способ 1. Сначала вычислим произведение в скобках, а затем возведем результат в степень:
$(2 \cdot 5)^3 = 10^3 = 1000$.
Способ 2. Применим правило возведения произведения в степень: возведем в степень каждый множитель и перемножим результаты:
$(2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3 = 8 \cdot 125 = 1000$.
Оба способа приводят к одинаковому результату, что подтверждает верность правила.

Ответ: Пример: $(2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3 = 8 \cdot 125 = 1000$. Прямое вычисление дает тот же результат: $(2 \cdot 5)^3 = 10^3 = 1000$.

Докажите соответствующее свойство степени

Необходимо доказать тождество $(ab)^n = a^n b^n$ для любых чисел $a$ и $b$ и любого натурального числа $n$.

Доказательство:
1. Используем определение степени с натуральным показателем. Выражение $x^n$ представляет собой произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $x$.
Таким образом, выражение $(ab)^n$ — это произведение, в котором множитель $(ab)$ повторяется $n$ раз:
$(ab)^n = \underbrace{(ab) \cdot (ab) \cdot \dots \cdot (ab)}_{n \text{ раз}}$

2. В силу переместительного (коммутативного) и сочетательного (ассоциативного) законов умножения, мы можем изменить порядок множителей и сгруппировать их: сначала записать все множители $a$, а затем все множители $b$.
$\underbrace{(ab) \cdot (ab) \cdot \dots \cdot (ab)}_{n \text{ раз}} = \underbrace{(a \cdot a \cdot \dots \cdot a)}_{n \text{ раз}} \cdot \underbrace{(b \cdot b \cdot \dots \cdot b)}_{n \text{ раз}}$

3. Снова воспользуемся определением степени: произведение $n$ множителей $a$ равно $a^n$, а произведение $n$ множителей $b$ равно $b^n$.
$\underbrace{(a \cdot a \cdot \dots \cdot a)}_{n \text{ раз}} = a^n$
$\underbrace{(b \cdot b \cdot \dots \cdot b)}_{n \text{ раз}} = b^n$

4. Подставив эти выражения обратно в наше равенство, получаем:
$(ab)^n = a^n b^n$.
Тождество доказано.

Ответ: Доказательство основано на определении степени с натуральным показателем и свойствах умножения, которые позволяют перегруппировать множители: $(ab)^n = \underbrace{(ab) \cdot \dots \cdot (ab)}_{n} = \underbrace{(a \cdot \dots \cdot a)}_{n} \cdot \underbrace{(b \cdot \dots \cdot b)}_{n} = a^n b^n$.