Номер 3, страница 185 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо знать (основные теоретические сведения). Чему вы научились. Глава 6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 3, страница 185.

3 Сформулируйте и проиллюстрируйте на примере правило деления степеней с одинаковыми основаниями. Докажите соответствующее свойство степени.

Сформулируйте правило деления степеней с одинаковыми основаниями

Чтобы разделить степени с одинаковыми основаниями, нужно основание оставить тем же, а из показателя степени делимого вычесть показатель степени делителя.

Для любого числа $a$, не равного нулю ($a \neq 0$), и для любых натуральных чисел $m$ и $n$ справедливо равенство:
$a^m : a^n = a^{m-n}$

Ответ: При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют тем же, а показатели вычитают: $a^m : a^n = a^{m-n}$ (при $a \neq 0$).

Проиллюстрируйте на примере правило деления степеней с одинаковыми основаниями

Рассмотрим пример: найти частное от деления $3^5$ на $3^2$.

Используя правило, получаем:
$3^5 : 3^2 = 3^{5-2} = 3^3 = 27$

Проверим результат, вычислив значения степеней по отдельности:
$3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243$
$3^2 = 3 \cdot 3 = 9$
$243 : 9 = 27$.
Результаты совпадают.

Также можно представить деление в виде дроби и сократить одинаковые множители:
$\frac{3^5}{3^2} = \frac{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}{3 \cdot 3} = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^3 = 27$

Ответ: Пример: $3^5 : 3^2 = 3^{5-2} = 3^3 = 27$.

Докажите соответствующее свойство степени

Необходимо доказать, что для любого числа $a \neq 0$ и любых натуральных чисел $m$ и $n$ (при условии $m > n$) справедливо равенство:
$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$

По определению степени с натуральным показателем:
$a^m = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{m \text{ множителей}}$
$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ множителей}}$

Рассмотрим их частное в виде дроби:
$\frac{a^m}{a^n} = \frac{\overbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}^{m \text{ множителей}}}{\underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ множителей}}}$

Так как $a \neq 0$ и $m > n$, мы можем сократить дробь на $n$ множителей $a$. После сокращения в числителе останется $m - n$ множителей $a$:
$\frac{\overbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}^{m \text{ множителей}}}{\underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ множителей}}} = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{m-n \text{ множителей}}$

Согласно определению степени, произведение $m-n$ множителей, каждый из которых равен $a$, есть $a^{m-n}$.

Таким образом, мы показали, что $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ доказано на основе определения степени и правила сокращения дробей.