Номер 2, страница 185 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо знать (основные теоретические сведения). Чему вы научились. Глава 6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 2, страница 185.

2 Сформулируйте и проиллюстрируйте на примере правило умножения степеней с одинаковыми основаниями. Докажите соответствующее свойство степени.

Сформулируйте правило умножения степеней с одинаковыми основаниями

При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют без изменений, а показатели степеней складывают.

В общем виде это правило записывается следующей формулой:

$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

где $a$ – любое число (основание степени), а $m$ и $n$ – любые натуральные числа (показатели степени).

Ответ: Чтобы умножить степени с одинаковыми основаниями, нужно основание оставить прежним, а показатели степеней сложить.

Проиллюстрируйте на примере правило умножения степеней с одинаковыми основаниями

Рассмотрим произведение степеней $5^2$ и $5^3$.

Согласно определению степени, имеем:

$5^2 = 5 \cdot 5$

$5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5$

Тогда их произведение равно:

$5^2 \cdot 5^3 = (5 \cdot 5) \cdot (5 \cdot 5 \cdot 5) = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^5$

Теперь применим правило умножения степеней с одинаковыми основаниями:

$5^2 \cdot 5^3 = 5^{2+3} = 5^5$

Результаты совпадают, что наглядно демонстрирует справедливость правила.

Ответ: Пример: $5^2 \cdot 5^3 = 5^{2+3} = 5^5$, так как $(5 \cdot 5) \cdot (5 \cdot 5 \cdot 5) = 5^5$.

Докажите соответствующее свойство степени

Необходимо доказать, что для любого числа $a$ и любых натуральных чисел $m$ и $n$ выполняется равенство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Воспользуемся определением степени с натуральным показателем. Степень числа $a$ с показателем $k$ – это произведение $k$ множителей, каждый из которых равен $a$.

Запишем $a^m$ и $a^n$ в виде произведений:

$a^m = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{m \text{ множителей}}$

$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ множителей}}$

Теперь перемножим эти выражения:

$a^m \cdot a^n = (\underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{m \text{ множителей}}) \cdot (\underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ множителей}})$

Раскрыв скобки, мы получим произведение, состоящее из одинаковых множителей $a$. Общее число множителей будет равно сумме числа множителей в первом и втором выражениях, то есть $m+n$.

$a^m \cdot a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{m+n \text{ множителей}}$

По определению степени, такое произведение равно $a^{m+n}$.

Таким образом, мы доказали, что $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство основано на определении степени. Произведение $a^m \cdot a^n$ представляет собой произведение, в котором множитель $a$ встречается сначала $m$ раз, а затем еще $n$ раз. В итоге получается произведение, содержащее $m+n$ множителей $a$, что по определению равно $a^{m+n}$.