Номер 628, страница 184 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 628, страница 184.

628 Команда из шести гимнасток готовится к выполнению упражнения на брусьях. Сколькими способами можно установить их очерёдность, если:

а) Ира должна выступить первой;

б) Ира должна выступить первой, а Зоя — последней;

в) Ира и Зоя должны выступать одна за другой;

г) Ира должна выступать первой или второй?

Данная задача относится к разделу комбинаторики и решается с использованием формулы перестановок. Всего в команде 6 гимнасток, и нам нужно найти количество способов установить их очерёдность при различных условиях.

а) Ира должна выступить первой;

Если место Иры зафиксировано (первое), то нам остаётся определить порядок выступления остальных $6 - 1 = 5$ гимнасток. Количество способов, которыми можно расставить 5 человек по 5 местам, равно числу перестановок из 5 элементов, то есть $P_5$.
Вычисляем факториал числа 5:
$P_5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$
Таким образом, существует 120 способов установить очерёдность, если Ира выступает первой.
Ответ: 120

б) Ира должна выступить первой, а Зоя — последней;

В этом случае у нас зафиксированы два места: первое для Иры и последнее (шестое) для Зои. Остаётся распределить оставшихся $6 - 2 = 4$ гимнасток по оставшимся 4 местам (со второго по пятое). Количество таких способов равно числу перестановок из 4 элементов, то есть $P_4$.
Вычисляем факториал числа 4:
$P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$
Следовательно, существует 24 способа установить очерёдность при данных условиях.
Ответ: 24

в) Ира и Зоя должны выступать одна за другой;

Рассмотрим пару "Ира и Зоя" как единый неделимый объект. Тогда нам нужно расставить 5 объектов: этот единый блок и оставшихся 4 гимнасток. Количество перестановок из 5 объектов равно $P_5 = 5!$.
Внутри самого блока "Ира и Зоя" гимнастки могут располагаться двумя способами: "Ира, затем Зоя" или "Зоя, затем Ира" (это $2! = 2$ способа).
Чтобы найти общее количество способов, нужно умножить количество перестановок блоков на количество перестановок внутри блока, согласно правилу произведения:
$N = P_5 \times 2! = 5! \times 2 = 120 \times 2 = 240$
Значит, есть 240 способов, при которых Ира и Зоя выступают друг за другом.
Ответ: 240

г) Ира должна выступать первой или второй?

Это задача на применение правила сложения, так как случаи, когда Ира выступает первой и когда она выступает второй, являются взаимоисключающими.
1. Случай 1: Ира выступает первой. Как мы выяснили в пункте а), для этого существует $P_5 = 5! = 120$ способов.
2. Случай 2: Ира выступает второй. В этом случае её место также зафиксировано. Остальных 5 гимнасток нужно расставить на оставшиеся 5 мест (первое, третье, четвертое, пятое и шестое). Количество способов для этого также равно $P_5 = 5! = 120$.
Поскольку эти два случая не могут произойти одновременно, общее количество способов равно сумме способов для каждого случая:
$N = 120 + 120 = 240$
Другой способ рассуждения: у Иры есть 2 варианта для выбора места (1-е или 2-е). Для каждого из этих вариантов остальных 5 гимнасток можно расставить $5!$ способами. Общее число способов: $2 \times 5! = 2 \times 120 = 240$.
Ответ: 240