Номер 624, страница 183 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 624, страница 183.

624 Мальчикам одной школы дали список из пяти известных футболистов: Андрей Аршавин, Динияр Билялетдинов, Алан Дзагоев, Юрий Жирков, Александр Кержаков. Каждый из мальчиков должен был присвоить футболистам места с первого по пятое в соответствии со своими симпатиями. Можно ли утверждать, что среди списков, полученных в результате такого опроса, будут одинаковые, если в школе учится 128 мальчиков?

Для решения этой задачи нужно определить, сколько всего существует различных способов расставить пятерых футболистов по местам с первого по пятое, а затем сравнить это количество с числом мальчиков.

Составление рейтинга из 5 футболистов — это задача на нахождение числа перестановок из 5 элементов. На первое место можно поставить любого из 5 футболистов. После того как первое место занято, на второе место остается 4 кандидата. На третье — 3, на четвертое — 2, и на последнее, пятое место, остается только один футболист.

Общее количество возможных уникальных списков (перестановок) равно произведению этих чисел, что вычисляется как факториал числа 5:

$P_5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

Итак, существует всего 120 различных вариантов рейтинга.

Теперь применим принцип Дирихле. Он гласит, что если нужно разместить $N$ объектов по $M$ контейнерам, и число объектов $N$ больше числа контейнеров $M$, то хотя бы в одном контейнере будет находиться более одного объекта.

В нашем случае:

• "Объекты" — это мальчики, их 128.
• "Контейнеры" — это возможные уникальные списки, их 120.

Поскольку количество мальчиков (128) больше количества возможных уникальных списков (120), то, по принципу Дирихле, как минимум два мальчика должны будут составить одинаковые списки.

Ответ: Да, можно утверждать, что среди 128 списков, составленных мальчиками, обязательно найдутся одинаковые.