Номер 617, страница 182 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 617, страница 182.

617 Выполните действия:

a) $12 \cdot \left(\frac{x^3}{4}\right)^2;$

б) $\frac{1}{8} \cdot \left(\frac{2a^2}{b}\right)^3;$

в) $\left(\frac{3c}{2}\right)^3 \cdot \left(-\frac{c^2}{3}\right)^2;$

г) $\left(\frac{3y}{2}\right)^4 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2.$

а) Чтобы выполнить действия в выражении $12 \cdot (\frac{x^3}{4})^2$, сначала возведем в квадрат дробь в скобках. Для этого используем свойство степени $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$:
$(\frac{x^3}{4})^2 = \frac{(x^3)^2}{4^2}$
Далее, применяем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$ к числителю и вычисляем знаменатель:
$\frac{x^{3 \cdot 2}}{16} = \frac{x^6}{16}$
Теперь умножим полученный результат на 12:
$12 \cdot \frac{x^6}{16} = \frac{12x^6}{16}$
Сократим полученную дробь на 4:
$\frac{12x^6}{16} = \frac{3 \cdot 4 \cdot x^6}{4 \cdot 4} = \frac{3x^6}{4}$
Ответ: $\frac{3x^6}{4}$

б) В выражении $\frac{1}{8} \cdot (\frac{2a^2}{b})^3$ сначала возведем в куб дробь в скобках:
$(\frac{2a^2}{b})^3 = \frac{(2a^2)^3}{b^3}$
Применяя свойства степени $(xy)^n = x^n y^n$ и $(x^m)^n = x^{mn}$, раскроем скобки в числителе:
$\frac{2^3 \cdot (a^2)^3}{b^3} = \frac{8a^{2 \cdot 3}}{b^3} = \frac{8a^6}{b^3}$
Теперь умножим полученное выражение на $\frac{1}{8}$:
$\frac{1}{8} \cdot \frac{8a^6}{b^3} = \frac{8a^6}{8b^3}$
Сократим дробь на 8:
$\frac{a^6}{b^3}$
Ответ: $\frac{a^6}{b^3}$

в) Рассмотрим выражение $(\frac{3c}{2})^3 \cdot (-\frac{c^2}{3})^2$. Возведем каждый множитель в соответствующую степень. Так как отрицательное число в четной степени становится положительным, $(-\frac{c^2}{3})^2 = (\frac{c^2}{3})^2$.
Выражение примет вид:
$\frac{(3c)^3}{2^3} \cdot \frac{(c^2)^2}{3^2}$
Раскроем скобки и вычислим степени:
$\frac{3^3 c^3}{8} \cdot \frac{c^{2 \cdot 2}}{9} = \frac{27c^3}{8} \cdot \frac{c^4}{9}$
Перемножим дроби. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($c^3 \cdot c^4 = c^{3+4} = c^7$):
$\frac{27c^3 \cdot c^4}{8 \cdot 9} = \frac{27c^7}{72}$
Сократим числовой коэффициент дроби на 9:
$\frac{27c^7}{72} = \frac{3 \cdot 9 \cdot c^7}{8 \cdot 9} = \frac{3c^7}{8}$
Ответ: $\frac{3c^7}{8}$

г) В выражении $(\frac{3y}{2})^4 \cdot (\frac{2}{3})^2$ возведем в степень каждый из сомножителей:
$\frac{(3y)^4}{2^4} \cdot \frac{2^2}{3^2}$
Вычислим степени чисел и раскроем скобки:
$\frac{3^4 y^4}{16} \cdot \frac{4}{9} = \frac{81y^4}{16} \cdot \frac{4}{9}$
Теперь перемножим полученные дроби:
$\frac{81y^4 \cdot 4}{16 \cdot 9}$
Выполним сокращение: сократим 81 и 9 на 9, а 4 и 16 на 4:
$\frac{(9 \cdot 9) \cdot 4 \cdot y^4}{(4 \cdot 4) \cdot 9} = \frac{9y^4}{4}$
Ответ: $\frac{9y^4}{4}$