Номер 610, страница 181 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 6.4. Перестановки. Глава 6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 610, страница 181.

610 АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ

а) Делится ли $100!$ на 47? на 99? на 101? на 102?

б) Сколькими нулями оканчивается число $100!$?

а)

Разберем каждый случай делимости для числа $100!$ ($100$ факториал), которое представляет собой произведение всех целых чисел от 1 до 100: $100! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot 99 \cdot 100$. Число $A$ делится на число $B$, если все простые множители числа $B$ содержатся в разложении числа $A$ на простые множители.

Делимость на 47:
Число 47 является простым, и оно меньше 100 ($47 < 100$). Следовательно, 47 является одним из множителей в произведении $1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot 100$. Таким образом, $100!$ делится на 47.

Делимость на 99:
Разложим 99 на множители: $99 = 9 \cdot 11$. Оба множителя, 9 и 11, меньше 100 и, следовательно, являются множителями в произведении $100!$. Значит, $100!$ делится на 99.

Делимость на 101:
Число 101 является простым. Для того чтобы $100!$ делилось на 101, в его разложении на простые множители должен присутствовать множитель 101. Однако, $100!$ является произведением целых чисел от 1 до 100. Поскольку 101 — простое число и $101 > 100$, оно не может быть множителем в этом произведении и не может быть получено произведением других множителей. Следовательно, $100!$ не делится на 101.

Делимость на 102:
Разложим число 102 на простые множители: $102 = 2 \cdot 51 = 2 \cdot 3 \cdot 17$. Все эти простые множители (2, 3 и 17) меньше 100, и, следовательно, они присутствуют в произведении $1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot 100$. А раз $100!$ делится на каждый из этих множителей, то он делится и на их произведение, то есть на 102.

Ответ: $100!$ делится на 47, 99 и 102, но не делится на 101.

б)

Количество нулей, на которое оканчивается число, определяется количеством множителей 10 в его разложении. Каждый множитель 10 образуется произведением простого множителя 2 и простого множителя 5 ($10 = 2 \cdot 5$).

В разложении числа $100!$ на простые множители содержится множество двоек и пятерок. Поскольку множителей 2 очевидно больше, чем множителей 5 (так как каждое второе число делится на 2, а каждое пятое - на 5), количество нулей будет равно количеству множителей 5.

Чтобы найти количество множителей 5 в разложении $100!$, нужно посчитать, сколько чисел от 1 до 100 делятся на 5, на $5^2=25$, на $5^3=125$ и так далее, и сложить эти количества.

Количество чисел от 1 до 100, которые делятся на 5: $\left\lfloor \frac{100}{5} \right\rfloor = 20$.
Эти числа (5, 10, ..., 100) дают по одному множителю 5.

Количество чисел, которые делятся на 25: $\left\lfloor \frac{100}{25} \right\rfloor = 4$.
Эти числа (25, 50, 75, 100) дают по дополнительному множителю 5 (так как $25 = 5^2$, $50=2 \cdot 5^2$ и т.д.).

Количество чисел, которые делятся на 125 ($5^3$): $\left\lfloor \frac{100}{125} \right\rfloor = 0$. На этом подсчет останавливается.

Следовательно, общее количество множителей 5 в разложении $100!$ равно сумме этих значений: $20 + 4 = 24$.

Так как количество множителей 5 равно 24, а количество множителей 2 заведомо больше, число $100!$ оканчивается на 24 нуля.

Ответ: 24.