Номер 609, страница 181 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 6.4. Перестановки. Глава 6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 609, страница 181.

609 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО Верно ли, что:

а) $10! = 10 \cdot 9!$;

б) $10! = 2! \cdot 5!$;

в) $\frac{12!}{11!} = 12?$

а)

Для проверки данного равенства воспользуемся определением факториала. Факториал числа $n$, обозначаемый как $n!$, представляет собой произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$ включительно.

Основное рекуррентное свойство факториала: $n! = n \cdot (n-1)!$.

Рассмотрим левую часть равенства $10!$. Используя указанное свойство для $n=10$, получаем:

$10! = 10 \cdot (10-1)! = 10 \cdot 9!$

Полученное выражение в точности совпадает с правой частью исходного равенства $10 \cdot 9!$. Следовательно, утверждение является верным.

Ответ: верно.

б)

Проверим это утверждение, вычислив значения левой и правой частей равенства.

Вычислим значение левой части: $10!$.
$10! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 = 3 628 800$.

Теперь вычислим значение правой части: $2! \cdot 5!$.
$2! = 1 \cdot 2 = 2$.
$5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120$.
$2! \cdot 5! = 2 \cdot 120 = 240$.

Сравниваем полученные значения:
$3 628 800 \neq 240$.

Так как левая и правая части не равны, утверждение неверно.

Ответ: неверно.

в)

Чтобы проверить это равенство, преобразуем выражение в левой части, используя свойство факториала $n! = n \cdot (n-1)!$.

Представим числитель дроби $12!$ через $11!$:
$12! = 12 \cdot (11 \cdot 10 \cdot \dots \cdot 1) = 12 \cdot 11!$.

Теперь подставим это выражение обратно в дробь:
$\frac{12!}{11!} = \frac{12 \cdot 11!}{11!}$.

Сократим $11!$ в числителе и знаменателе:
$\frac{12 \cdot \cancel{11!}}{\cancel{11!}} = 12$.

Левая часть равна 12, что совпадает с правой частью. Следовательно, утверждение верно.

Ответ: верно.