Номер 607, страница 179 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 6.4. Перестановки. Глава 6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 607, страница 179.

607 Сколькими способами можно расставить на полке 10 книг, из которых 4 книги одного автора, а остальные — разных авторов, так, чтобы книги одного автора стояли рядом?

Решение:

Для решения этой задачи мы будем использовать принципы комбинаторики, в частности, перестановки.

1. Сначала рассмотрим 4 книги одного автора как один единый объект (блок), так как по условию они должны стоять рядом. Теперь у нас есть этот блок и оставшиеся $10 - 4 = 6$ книг разных авторов. Таким образом, мы должны расставить на полке $6 + 1 = 7$ объектов.

2. Количество способов расставить эти 7 различных объектов на полке равно числу перестановок из 7 элементов, которое вычисляется как $7!$ (7 факториал).

$P_7 = 7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040$ способов.

3. Теперь рассмотрим сам блок, состоящий из 4 книг одного автора. Внутри этого блока книги также можно переставлять между собой. Поскольку книги, даже одного автора, как правило, различны (например, разные тома), количество способов их переставить равно числу перестановок из 4 элементов, то есть $4!$.

$P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ способа.

4. По правилу произведения в комбинаторике, чтобы найти общее число способов расстановки, нужно умножить количество способов расстановки "блоков" на количество способов расстановки книг внутри блока.

Общее число способов $N$ равно:

$N = 7! \times 4! = 5040 \times 24 = 120960$.

Ответ: 120960 способов.