Номер 613, страница 182 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.5. Круговые перестановки. Глава 6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 613, страница 182.

613 Двенадцать девочек водят хоровод. Сколькими различными способами они могут встать в круг?

Это задача на круговые перестановки из раздела комбинаторики.

Если бы 12 девочек нужно было расставить в ряд, то количество способов было бы равно числу перестановок из 12 элементов, то есть $12!$. Это потому, что на первое место можно поставить любую из 12 девочек, на второе — любую из 11 оставшихся, и так далее.

Однако, когда девочки становятся в круг (хоровод), у нас нет фиксированной начальной или конечной позиции. Расположения, которые можно получить друг из друга простым поворотом круга, считаются одинаковыми. Например, если мысленно пронумеровать девочек, то комбинация, где они стоят в порядке 1-2-3-...-12, будет неотличима от комбинации 2-3-4-...-12-1, 3-4-5-...-1-2 и так далее.

Для каждой уникальной расстановки в кругу существует ровно 12 таких "повернутых" копий, которые в линейной расстановке считались бы разными. Поэтому, чтобы найти число уникальных круговых перестановок, нужно общее число линейных перестановок ($12!$) разделить на количество элементов (12).

Число различных способов $N$ для $n$ элементов в круге вычисляется по формуле:

$N = \frac{n!}{n} = (n-1)!$

В нашем случае $n = 12$, поэтому количество способов равно:

$N = (12-1)! = 11!$

Теперь вычислим значение факториала:

$11! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7 \times 8 \times 9 \times 10 \times 11 = 39 \, 916 \, 800$

Можно рассуждать и иначе: зафиксируем одну из девочек на любом месте. Поскольку круг можно вращать, неважно, какое именно место она займет, это будет наша точка отсчета. Теперь оставшихся 11 девочек нужно расставить на 11 оставшихся мест. Это уже обычная линейная перестановка, и число способов сделать это равно $11!$.

Ответ: $39 \, 916 \, 800$