Номер 606, страница 179 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 6.4. Перестановки. Глава 6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 606, страница 179.

606 Сколько существует анаграмм слова:

а) «факториал»;

б) «перестановка»;

в) «комбинаторика»?

Указание. а) Временно считайте две буквы «а» различными буквами (обозначьте их «$a_1$» и «$a_2$») и сосчитайте всевозможные анаграммы. Далее учтите, что те анаграммы, которые получаются перестановкой букв «$a_1$» и «$a_2$», на самом деле одинаковы.

а) «факториал»
Задача состоит в нахождении количества перестановок с повторениями. Общая формула для этого: $P(n; n_1, \dots, n_k) = \frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdot \ldots \cdot n_k!}$, где $n$ — общее число элементов, а $n_1, \dots, n_k$ — количество одинаковых элементов каждого типа.
Слово «факториал» состоит из $n=9$ букв.
Проанализируем состав слова: ф - 1, а - 2, к - 1, т - 1, о - 1, р - 1, и - 1, л - 1.
Здесь повторяется только буква 'а' ($n_1=2$ раза).
Следуя указанию в задаче, можно рассуждать так: если бы две буквы 'а' были различны (например, $а_1$ и $а_2$), то общее число перестановок 9 различных букв было бы $9!$. Однако, поскольку буквы 'а' на самом деле неразличимы, любая перестановка этих двух букв ($а_1$ и $а_2$) не создает новой анаграммы. Таких перестановок для двух букв 'а' существует $2!$. Поэтому общее число перестановок $9!$ нужно разделить на $2!$.
Число анаграмм:
$N = \frac{9!}{2!} = \frac{362\,880}{2} = 181\,440$.
Ответ: $181\,440$.

б) «перестановка»
Слово «перестановка» состоит из $n=12$ букв.
Проанализируем состав слова: п - 1, е - 2, р - 1, с - 1, т - 1, а - 2, н - 1, о - 1, в - 1, к - 1.
Повторяются две буквы: 'е' ($n_1=2$ раза) и 'а' ($n_2=2$ раза).
Используем формулу для перестановок с повторениями:
$N = \frac{12!}{2! \cdot 2!} = \frac{479\,001\,600}{2 \cdot 2} = \frac{479\,001\,600}{4} = 119\,750\,400$.
Ответ: $119\,750\,400$.

в) «комбинаторика»
Слово «комбинаторика» состоит из $n=13$ букв.
Проанализируем состав слова: к - 2, о - 2, м - 1, б - 1, и - 2, н - 1, а - 2, т - 1, р - 1.
Повторяются четыре буквы: 'к' ($n_1=2$ раза), 'о' ($n_2=2$ раза), 'и' ($n_3=2$ раза), 'а' ($n_4=2$ раза).
Используем формулу для перестановок с повторениями:
$N = \frac{13!}{2! \cdot 2! \cdot 2! \cdot 2!} = \frac{13!}{16} = \frac{6\,227\,020\,800}{16} = 389\,188\,800$.
Ответ: $389\,188\,800$.