Номер 612, страница 182 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.5. Круговые перестановки. Глава 6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 612, страница 182.

612 a) Сколько имеется вариантов рассадить президентов «Большой восьмёрки» за восьмиместным круглым столом переговоров?

б) Сколькими способами десять приятелей могут сесть на десятиместную карусель?

а)

Данная задача решается с помощью формулы для циклических перестановок. Когда мы рассаживаем $n$ различных объектов по кругу, количество уникальных расположений отличается от перестановок в ряд. Важным является только взаимное расположение объектов, а не их абсолютное положение.

Если бы мы рассаживали 8 президентов в ряд, количество способов было бы равно числу перестановок из 8 элементов, то есть $8!$. Однако за круглым столом расположения, которые можно получить друг из друга поворотом, считаются одинаковыми.

Для подсчета уникальных расположений за круглым столом мы можем мысленно зафиксировать одного из президентов на одном месте. Тогда оставшихся $(n-1)$ президентов нужно рассадить на $(n-1)$ оставшихся мест. Это уже будет линейная перестановка.

Число способов рассадить $(n-1)$ человек на $(n-1)$ мест равно $(n-1)!$.

В нашем случае $n = 8$. Следовательно, количество вариантов рассадки равно:

$ (8 - 1)! = 7! $

Вычислим значение факториала:

$ 7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040 $

Ответ: 5040

б)

Эта задача, как и предыдущая, является задачей на циклические перестановки. У нас есть 10 друзей и 10-местная карусель, которая представляет собой круговое расположение мест.

Мы снова используем формулу для циклических перестановок из $n$ различных элементов, которая равна $(n-1)!$.

В данном случае количество друзей $n=10$. Таким образом, количество способов, которыми они могут сесть на карусель, вычисляется следующим образом:

$ (10 - 1)! = 9! $

Вычислим значение факториала:

$ 9! = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 362\,880 $

Ответ: 362 880