Номер 608, страница 179 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 6.4. Перестановки. Глава 6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 608, страница 179.

608 Пять мальчиков и пять девочек занимают в театре в одном ряду места с 1-го по 10-е. Мальчики садятся на нечётные места, а девочки — на чётные. Сколькими способами они могут это сделать?

В данной задаче нам нужно найти общее количество способов рассадить 5 мальчиков и 5 девочек на 10 местах в ряду при определенных условиях. Условия задачи следующие: всего 10 мест, пронумерованных с 1 по 10; пять мальчиков садятся на нечётные места; пять девочек садятся на чётные места.

Решение можно разбить на два независимых этапа: рассадка мальчиков и рассадка девочек.

Рассадка мальчиков

В ряду с 1 по 10 есть 5 нечётных мест: 1, 3, 5, 7, 9. На эти 5 мест нужно рассадить 5 мальчиков. Количество способов, которыми можно расположить $n$ различных объектов на $n$ различных позициях, называется числом перестановок и вычисляется по формуле $P_n = n!$ (n-факториал).

В нашем случае $n=5$, поэтому количество способов рассадить мальчиков равно: $P_5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.

Рассадка девочек

Аналогично, в ряду есть 5 чётных мест: 2, 4, 6, 8, 10. На эти 5 мест нужно рассадить 5 девочек. Количество способов сделать это также равно числу перестановок из 5 элементов.

В нашем случае $n=5$, поэтому количество способов рассадить девочек равно: $P_5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.

Общее количество способов

Поскольку рассадка мальчиков и рассадка девочек — это независимые события, общее количество способов их совместного размещения находится по правилу произведения в комбинаторике. Мы должны умножить количество способов рассадки мальчиков на количество способов рассадки девочек.

Общее число способов $N$ равно: $N = (\text{число способов для мальчиков}) \times (\text{число способов для девочек}) = 5! \times 5!$

$N = 120 \times 120 = 14400$.

Ответ: 14400.