Номер 604, страница 179 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 6.4. Перестановки. Глава 6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 604, страница 179.

604 Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составляются пятизначные числа, в которых все цифры разные.

а) Сколько из них делится на 5?

б) Сколько из них не делится на 5?

а) Сколько из них делится на 5?

Пятизначное число делится на 5, если его последняя цифра — 0 или 5. Из заданного набора цифр {1, 2, 3, 4, 5} для этого подходит только цифра 5. По условию, все цифры в числе должны быть разными.

Таким образом, для делимости на 5, последняя цифра числа должна быть 5. Зафиксируем цифру 5 на последнем месте. Для оставшихся четырех позиций нужно расставить оставшиеся четыре цифры: {1, 2, 3, 4}.

Количество способов расставить 4 различных элемента по 4 местам равно числу перестановок из 4 элементов ($P_4$). Это вычисляется по формуле $P_n = n!$.

В нашем случае, количество таких чисел равно:

$P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.

Следовательно, существует 24 пятизначных числа, составленных из данных цифр, которые делятся на 5.

Ответ: 24

б) Сколько из них не делится на 5?

Эту задачу можно решить двумя способами.

Способ 1. Найти разность между общим количеством возможных чисел и количеством чисел, делящихся на 5.

Общее количество пятизначных чисел, которые можно составить из 5 различных цифр, равно числу перестановок из 5 элементов:

$P_5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.

Из пункта а) мы знаем, что 24 из этих чисел делятся на 5. Значит, количество чисел, которые не делятся на 5, равно:

$120 - 24 = 96$.

Способ 2. Выполнить прямой подсчет.

Число не будет делиться на 5, если его последняя цифра не 5 (и не 0). Из нашего набора {1, 2, 3, 4, 5} на последнее место можно поставить любую из цифр {1, 2, 3, 4}. То есть, для последней цифры есть 4 варианта.

После выбора последней цифры у нас остаются 4 неиспользованные цифры (включая цифру 5). Эти 4 цифры нужно расставить на оставшиеся 4 места в начале числа. Количество способов это сделать равно $P_4 = 4! = 24$.

По правилу произведения в комбинаторике, общее количество искомых чисел равно произведению числа вариантов для последней цифры и числа вариантов для расстановки остальных цифр:

$4 \times 4! = 4 \times 24 = 96$.

Оба способа дают один и тот же результат.

Ответ: 96