Номер 605, страница 179 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 6.4. Перестановки. Глава 6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 605, страница 179.

605 Сколько пятизначных чисел (без повторения цифр) можно составить из цифр 0, 2, 4, 6, 8?

Для решения этой задачи воспользуемся методами комбинаторики. Нам нужно составить пятизначное число из пяти уникальных цифр: 0, 2, 4, 6, 8.

Пятизначное число состоит из пяти разрядов (позиций).

Первая цифра (разряд десятков тысяч): На это место нельзя ставить 0, иначе число не будет пятизначным. Следовательно, у нас есть 4 варианта для первой цифры: 2, 4, 6 или 8.

Вторая цифра (разряд тысяч): Мы уже использовали одну цифру. Из исходных пяти цифр осталось четыре. Теперь мы можем использовать 0. Значит, для второй позиции у нас также 4 варианта.

Третья цифра (разряд сотен): Две цифры уже заняты. Осталось 3 неиспользованные цифры. Следовательно, 3 варианта.

Четвертая цифра (разряд десятков): Три цифры заняты. Осталось 2 варианта.

Пятая цифра (разряд единиц): Четыре цифры заняты. Остался всего 1 вариант.

Чтобы найти общее количество возможных пятизначных чисел, нужно перемножить количество вариантов для каждой позиции по правилу произведения:
$4 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 96$

Альтернативный способ решения:

Сначала найдем общее количество перестановок из пяти данных цифр. Это число равно факториалу 5:
$P_5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

Из этого количества нужно вычесть те комбинации, которые начинаются с нуля, так как они не являются пятизначными числами. Если мы зафиксируем 0 на первой позиции, то для остальных четырех позиций нам нужно расставить оставшиеся 4 цифры (2, 4, 6, 8). Количество таких перестановок равно факториалу 4:
$P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

Теперь вычтем "неправильные" комбинации из общего числа перестановок:
$120 - 24 = 96$

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 96.