Номер 611, страница 181 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 6.4. Перестановки. Глава 6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 611, страница 181.

611 ДОКАЗЫВАЕМ Докажите, что $n! \le n^n$.

Но если нас интересует только взаимное расположение гостей, то одинаковыми можно считать и такие симметричные расположения, при которых у каждого гостя остаются те же соседи за столом, только левый и правый соседи меняются местами (рис. 6.2).

При таком понимании общее число различных расположений гостей вокруг стола будет ещё вдвое меньше: $120 : 2 = 60$.

Рис. 6.2

Для доказательства неравенства $n! \le n^n$ для любого натурального числа $n \ge 1$, рассмотрим определения обеих его частей.

По определению, факториал числа $n$ (обозначается $n!$) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$ включительно:
$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n$

В то же время, $n$ в степени $n$ (обозначается $n^n$) — это произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $n$:
$n^n = \underbrace{n \cdot n \cdot n \cdot \ldots \cdot n}_{n \text{ раз}}$

Теперь сравним эти два произведения. Каждое из них состоит из $n$ сомножителей. Сопоставим множители из левой и правой частей исходного неравенства по порядку.

Для каждого множителя $k$ из произведения $n!$ (где $k$ принимает значения от 1 до $n$) и соответствующего ему по порядку множителя из произведения $n^n$ (который всегда равен $n$), мы можем записать следующие $n$ очевидных неравенств:

1-й множитель: $1 \le n$
2-й множитель: $2 \le n$
3-й множитель: $3 \le n$
...
$k$-й множитель: $k \le n$
...
$n$-й множитель: $n \le n$ (точнее, $n = n$)

Все эти неравенства верны для любого натурального $k$ в диапазоне от 1 до $n$. Поскольку все члены в этих неравенствах — положительные числа, мы можем почленно их перемножить. Произведение левых частей даст нам $n!$, а произведение правых частей — $n^n$.

$(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n) \le (n \cdot n \cdot n \cdot \ldots \cdot n)$

Таким образом, мы приходим к искомому неравенству:
$n! \le n^n$
Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство $n! \le n^n$ доказано путем почленного сравнения множителей в произведениях, определяющих $n!$ и $n^n$. Каждый множитель $k$ в $n! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n$ не превышает соответствующего по порядку множителя $n$ в $n^n = n \cdot n \cdot \ldots \cdot n$. Поскольку все множители положительны, перемножение этих верных неравенств ($k \le n$ для $k=1, 2, \ldots, n$) доказывает исходное утверждение.