Страница 181 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

609 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО Верно ли, что:

а) $10! = 10 \cdot 9!$;

б) $10! = 2! \cdot 5!$;

в) $\frac{12!}{11!} = 12?$

а)

Для проверки данного равенства воспользуемся определением факториала. Факториал числа $n$, обозначаемый как $n!$, представляет собой произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$ включительно.

Основное рекуррентное свойство факториала: $n! = n \cdot (n-1)!$.

Рассмотрим левую часть равенства $10!$. Используя указанное свойство для $n=10$, получаем:

$10! = 10 \cdot (10-1)! = 10 \cdot 9!$

Полученное выражение в точности совпадает с правой частью исходного равенства $10 \cdot 9!$. Следовательно, утверждение является верным.

Ответ: верно.

б)

Проверим это утверждение, вычислив значения левой и правой частей равенства.

Вычислим значение левой части: $10!$.
$10! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 = 3 628 800$.

Теперь вычислим значение правой части: $2! \cdot 5!$.
$2! = 1 \cdot 2 = 2$.
$5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120$.
$2! \cdot 5! = 2 \cdot 120 = 240$.

Сравниваем полученные значения:
$3 628 800 \neq 240$.

Так как левая и правая части не равны, утверждение неверно.

Ответ: неверно.

в)

Чтобы проверить это равенство, преобразуем выражение в левой части, используя свойство факториала $n! = n \cdot (n-1)!$.

Представим числитель дроби $12!$ через $11!$:
$12! = 12 \cdot (11 \cdot 10 \cdot \dots \cdot 1) = 12 \cdot 11!$.

Теперь подставим это выражение обратно в дробь:
$\frac{12!}{11!} = \frac{12 \cdot 11!}{11!}$.

Сократим $11!$ в числителе и знаменателе:
$\frac{12 \cdot \cancel{11!}}{\cancel{11!}} = 12$.

Левая часть равна 12, что совпадает с правой частью. Следовательно, утверждение верно.

Ответ: верно.

610 АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ

а) Делится ли $100!$ на 47? на 99? на 101? на 102?

б) Сколькими нулями оканчивается число $100!$?

а)

Разберем каждый случай делимости для числа $100!$ ($100$ факториал), которое представляет собой произведение всех целых чисел от 1 до 100: $100! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot 99 \cdot 100$. Число $A$ делится на число $B$, если все простые множители числа $B$ содержатся в разложении числа $A$ на простые множители.

Делимость на 47:
Число 47 является простым, и оно меньше 100 ($47 < 100$). Следовательно, 47 является одним из множителей в произведении $1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot 100$. Таким образом, $100!$ делится на 47.

Делимость на 99:
Разложим 99 на множители: $99 = 9 \cdot 11$. Оба множителя, 9 и 11, меньше 100 и, следовательно, являются множителями в произведении $100!$. Значит, $100!$ делится на 99.

Делимость на 101:
Число 101 является простым. Для того чтобы $100!$ делилось на 101, в его разложении на простые множители должен присутствовать множитель 101. Однако, $100!$ является произведением целых чисел от 1 до 100. Поскольку 101 — простое число и $101 > 100$, оно не может быть множителем в этом произведении и не может быть получено произведением других множителей. Следовательно, $100!$ не делится на 101.

Делимость на 102:
Разложим число 102 на простые множители: $102 = 2 \cdot 51 = 2 \cdot 3 \cdot 17$. Все эти простые множители (2, 3 и 17) меньше 100, и, следовательно, они присутствуют в произведении $1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot 100$. А раз $100!$ делится на каждый из этих множителей, то он делится и на их произведение, то есть на 102.

Ответ: $100!$ делится на 47, 99 и 102, но не делится на 101.

б)

Количество нулей, на которое оканчивается число, определяется количеством множителей 10 в его разложении. Каждый множитель 10 образуется произведением простого множителя 2 и простого множителя 5 ($10 = 2 \cdot 5$).

В разложении числа $100!$ на простые множители содержится множество двоек и пятерок. Поскольку множителей 2 очевидно больше, чем множителей 5 (так как каждое второе число делится на 2, а каждое пятое - на 5), количество нулей будет равно количеству множителей 5.

Чтобы найти количество множителей 5 в разложении $100!$, нужно посчитать, сколько чисел от 1 до 100 делятся на 5, на $5^2=25$, на $5^3=125$ и так далее, и сложить эти количества.

Количество чисел от 1 до 100, которые делятся на 5: $\left\lfloor \frac{100}{5} \right\rfloor = 20$.
Эти числа (5, 10, ..., 100) дают по одному множителю 5.

Количество чисел, которые делятся на 25: $\left\lfloor \frac{100}{25} \right\rfloor = 4$.
Эти числа (25, 50, 75, 100) дают по дополнительному множителю 5 (так как $25 = 5^2$, $50=2 \cdot 5^2$ и т.д.).

Количество чисел, которые делятся на 125 ($5^3$): $\left\lfloor \frac{100}{125} \right\rfloor = 0$. На этом подсчет останавливается.

Следовательно, общее количество множителей 5 в разложении $100!$ равно сумме этих значений: $20 + 4 = 24$.

Так как количество множителей 5 равно 24, а количество множителей 2 заведомо больше, число $100!$ оканчивается на 24 нуля.

Ответ: 24.

611 ДОКАЗЫВАЕМ Докажите, что $n! \le n^n$.

Но если нас интересует только взаимное расположение гостей, то одинаковыми можно считать и такие симметричные расположения, при которых у каждого гостя остаются те же соседи за столом, только левый и правый соседи меняются местами (рис. 6.2).

При таком понимании общее число различных расположений гостей вокруг стола будет ещё вдвое меньше: $120 : 2 = 60$.

Рис. 6.2

Для доказательства неравенства $n! \le n^n$ для любого натурального числа $n \ge 1$, рассмотрим определения обеих его частей.

По определению, факториал числа $n$ (обозначается $n!$) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$ включительно:
$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n$

В то же время, $n$ в степени $n$ (обозначается $n^n$) — это произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $n$:
$n^n = \underbrace{n \cdot n \cdot n \cdot \ldots \cdot n}_{n \text{ раз}}$

Теперь сравним эти два произведения. Каждое из них состоит из $n$ сомножителей. Сопоставим множители из левой и правой частей исходного неравенства по порядку.

Для каждого множителя $k$ из произведения $n!$ (где $k$ принимает значения от 1 до $n$) и соответствующего ему по порядку множителя из произведения $n^n$ (который всегда равен $n$), мы можем записать следующие $n$ очевидных неравенств:

1-й множитель: $1 \le n$
2-й множитель: $2 \le n$
3-й множитель: $3 \le n$
...
$k$-й множитель: $k \le n$
...
$n$-й множитель: $n \le n$ (точнее, $n = n$)

Все эти неравенства верны для любого натурального $k$ в диапазоне от 1 до $n$. Поскольку все члены в этих неравенствах — положительные числа, мы можем почленно их перемножить. Произведение левых частей даст нам $n!$, а произведение правых частей — $n^n$.

$(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n) \le (n \cdot n \cdot n \cdot \ldots \cdot n)$

Таким образом, мы приходим к искомому неравенству:
$n! \le n^n$
Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство $n! \le n^n$ доказано путем почленного сравнения множителей в произведениях, определяющих $n!$ и $n^n$. Каждый множитель $k$ в $n! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n$ не превышает соответствующего по порядку множителя $n$ в $n^n = n \cdot n \cdot \ldots \cdot n$. Поскольку все множители положительны, перемножение этих верных неравенств ($k \le n$ для $k=1, 2, \ldots, n$) доказывает исходное утверждение.