Страница 176 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Каким будет ответ задачи из примера 1, если:

а) первой цифрой кода не может быть 0;

б) код должен оканчиваться цифрой 5 или 6;

в) первая цифра кода чётная, а вторая нечётная?

а) Поскольку задача из примера 1 не приведена, будем исходить из стандартного предположения, что речь идёт о количестве трёхзначных кодов, которые можно составить из цифр от 0 до 9. В этом случае на каждую из трёх позиций есть 10 вариантов.
Если первой цифрой кода не может быть 0, то для выбора первой цифры остаётся 9 вариантов (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Для второй и третьей цифры ограничений нет, поэтому для каждой из них по-прежнему 10 вариантов (0-9).
Общее число комбинаций находится по правилу произведения: $9 \times 10 \times 10 = 900$.
Ответ: 900.

б) Если код должен оканчиваться цифрой 5 или 6, то для выбора последней (третьей) цифры есть 2 варианта. На первую и вторую цифры ограничения не накладываются (в частности, первая цифра может быть 0, так как это не оговорено, в отличие от пункта а). Таким образом, для первой и второй цифры есть по 10 вариантов.
Общее число комбинаций равно: $10 \times 10 \times 2 = 200$.
Ответ: 200.

в) Если первая цифра кода чётная, а вторая нечётная.
Множество чётных цифр: {0, 2, 4, 6, 8}. Всего 5 вариантов.
Множество нечётных цифр: {1, 3, 5, 7, 9}. Всего 5 вариантов.
Для первой цифры есть 5 чётных вариантов (включая 0, так как обратное не указано). Для второй цифры есть 5 нечётных вариантов. На третью цифру ограничений нет, поэтому для неё есть 10 вариантов (0-9).
Общее число комбинаций составляет: $5 \times 5 \times 10 = 250$.
Ответ: 250.

Какие из данных ниже задач аналогичны той, что описана в примере 2?

a) В спартакиаде приняли участие 7 боксёров, причём каждый с каждым провели по одному бою. Сколько всего боёв было проведено?

б) На деловую встречу пришли 6 бизнесменов, и каждый с каждым обменялись рукопожатием. Сколько всего было сделано рукопожатий?

в) Четыре подруги каждая с каждой обменялись sms-сообщениями. Сколько всего было отправлено сообщений?

г) Пять государств установили друг с другом дипломатические отношения, при этом каждое с каждым обменялись послами. Сколько всего послов было направлено?

д) Четыре точки, никакие три из которых не лежат на одной прямой, соединили попарно отрезками. Сколько всего отрезков было проведено?

Задачи, которые аналогичны классическому примеру (обычно это задача о рукопожатиях или о количестве игр в турнире), — это те, в которых взаимодействие между двумя объектами является взаимным и не зависит от порядка. В таких задачах ищется количество неупорядоченных пар, или, говоря языком комбинаторики, число сочетаний из n по 2. Этому условию соответствуют задачи а), б) и д).

Задачи в) и г) отличаются, так как в них взаимодействие направленное (например, SMS от Маши к Даше — это не то же самое, что SMS от Даши к Маше). В этих задачах ищется количество упорядоченных пар, или число размещений.

а) В спартакиаде приняли участие 7 боксёров, причём каждый с каждым провели по одному бою. Сколько всего боёв было проведено?

В каждом бою участвуют два боксёра, и бой между боксёром А и боксёром Б — это то же самое, что бой между боксёром Б и боксёром А. Порядок не важен. Следовательно, мы ищем количество сочетаний из 7 по 2. Можно рассуждать так: каждый из 7 боксёров проводит бой с 6 остальными. Если мы просто умножим $7 \times 6 = 42$, то мы посчитаем каждый бой дважды (один раз для первого участника, второй — для второго). Поэтому результат нужно разделить на 2.
Формула для числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
В нашем случае $n=7$, $k=2$:
$C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$.
Ответ: 21 бой.

б) На деловую встречу пришли 6 бизнесменов, и каждый с каждым обменялись рукопожатием. Сколько всего было сделано рукопожатий?

Эта задача полностью аналогична предыдущей. Рукопожатие между двумя людьми — это одно действие, порядок не имеет значения. Мы ищем количество пар, которые можно составить из 6 бизнесменов.
Используем ту же логику: каждый из 6 бизнесменов пожимает руку 5 другим. Произведение $6 \times 5 = 30$ учитывает каждое рукопожатие дважды. Делим на 2.
$C_6^2 = \frac{6 \times 5}{2} = 15$.
Ответ: 15 рукопожатий.

в) Четыре подруги каждая с каждой обменялись sms-сообщениями. Сколько всего было отправлено сообщений?

В этой задаче порядок важен. Если подруга А отправляет сообщение подруге Б, это одно действие. Когда подруга Б отправляет сообщение подруге А — это другое, второе действие. Таким образом, каждая из 4 подруг отправляет сообщения 3 другим подругам.
Общее количество сообщений равно $4 \times 3 = 12$.
Это задача на размещения, формула: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.
$A_4^2 = \frac{4!}{(4-2)!} = 4 \times 3 = 12$.
Ответ: 12 сообщений.

г) Пять государств установили друг с другом дипломатические отношения, при этом каждое с каждым обменялись послами. Сколько всего послов было направлено?

Эта задача аналогична предыдущей (про sms). Если государство А направляет посла в государство Б, а государство Б направляет посла в А — это два разных посла. Действие направленное.
Каждое из 5 государств направляет послов в 4 других государства.
Общее количество послов: $5 \times 4 = 20$.
Используем формулу для числа размещений: $A_5^2 = \frac{5!}{(5-2)!} = 5 \times 4 = 20$.
Ответ: 20 послов.

д) Четыре точки, никакие три из которых не лежат на одной прямой, соединили попарно отрезками. Сколько всего отрезков было проведено?

Отрезок, соединяющий точку А и точку Б, — это тот же самый отрезок, что соединяет Б и А. Порядок не важен. Задача аналогична пунктам а) и б). Нам нужно найти количество пар точек, которые можно выбрать из 4.
Используем формулу для числа сочетаний: $C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2} = 6$.
Можно и пересчитать: если точки обозначить 1, 2, 3, 4, то отрезки будут (1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4) — всего 6.
Ответ: 6 отрезков.

ДЕЙСТВУЕМ ПО ПРАВИЛУ (587–589)

587 a) На почте продаётся 40 разных конвертов и 25 разных марок. Сколько есть вариантов покупки конверта с маркой?

б) В театральном кафе предлагают три вида бутербродов, конфеты пяти сортов и два вида сока. Сколькими способами можно выбрать набор из бутерброда, конфеты и сока?

а) Для решения этой задачи используется правило умножения из комбинаторики. Если объект A можно выбрать $m$ способами, и после каждого такого выбора объект B можно выбрать $n$ способами, то выбор пары (A, B) можно осуществить $m \times n$ способами.

В нашем случае есть два независимых выбора: выбор конверта и выбор марки.

Количество способов выбрать конверт: 40.

Количество способов выбрать марку: 25.

Чтобы найти общее количество вариантов покупки конверта с маркой, нужно перемножить количество вариантов конвертов на количество вариантов марок:

$40 \times 25 = 1000$

Таким образом, существует 1000 различных вариантов покупки конверта с маркой.

Ответ: 1000 вариантов.

б) Эта задача также решается с помощью правила умножения. Нам нужно составить набор из трех элементов: бутерброда, конфеты и сока. Выбор каждого элемента является независимым событием.

Количество способов выбрать бутерброд: 3.

Количество способов выбрать конфеты: 5.

Количество способов выбрать сок: 2.

Чтобы найти общее количество способов составить такой набор, необходимо перемножить количество вариантов для каждого элемента:

$3 \times 5 \times 2 = 30$

Следовательно, существует 30 различных способов выбрать набор из бутерброда, конфеты и сока.

Ответ: 30 способами.

588 a) В забеге участвуют шесть мальчиков. Сколькими способами могут распределиться два первых места?

б) Сколько существует вариантов выбора спикера и вице-спикера парламента, если всего в парламенте 101 депутат?

а) В данной задаче требуется найти количество способов, которыми могут распределиться два первых места среди шести участников. Поскольку порядок, в котором мальчики занимают первое и второе места, важен (например, Ваня первый и Петя второй — это не то же самое, что Петя первый и Ваня второй), мы имеем дело с размещениями.

Это задача на нахождение числа размещений из $n$ элементов по $k$, которое вычисляется по формуле:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

Здесь общее количество участников (мальчиков) $n = 6$, а количество призовых мест, которые нужно распределить, $k = 2$.

Подставим эти значения в формулу:

$A_6^2 = \frac{6!}{(6-2)!} = \frac{6!}{4!} = \frac{6 \times 5 \times 4!}{4!} = 6 \times 5 = 30$

Можно также рассуждать последовательно. На первое место может претендовать любой из 6 мальчиков, то есть существует 6 вариантов. После того как первое место занято, на второе место может претендовать любой из оставшихся 5 мальчиков (5 вариантов). Согласно комбинаторному правилу умножения, общее количество способов распределить два места равно произведению числа вариантов для каждого места:

$6 \times 5 = 30$

Ответ: 30 способами.

б) В этой задаче нужно выбрать двух человек из 101 на две различные должности: спикера и вице-спикера. Так как должности разные, порядок выбора имеет значение. Следовательно, это также задача на размещения.

Мы выбираем 2 человек из 101, поэтому общее число элементов $n = 101$, а количество выбираемых элементов $k = 2$.

Используем формулу для числа размещений:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

Подставим наши значения:

$A_{101}^2 = \frac{101!}{(101-2)!} = \frac{101!}{99!} = \frac{101 \times 100 \times 99!}{99!} = 101 \times 100 = 10100$

Логическое рассуждение также применимо. На должность спикера можно выбрать любого из 101 депутата (101 вариант). После этого на должность вице-спикера останется 100 кандидатов (100 вариантов). Общее число вариантов выбора равно:

$101 \times 100 = 10100$

Ответ: 10100 вариантов.

589 a) В классе десять одноместных парт. Сколькими способами можно рассадить на них трёх школьников?

б) В пассажирском поезде девять вагонов. Сколькими способами можно посадить в этот поезд четырёх пассажиров, если требуется, чтобы все они ехали в разных вагонах?

а)

В данной задаче нам нужно рассадить 3 школьников по 10 разным партам. Поскольку школьники и парты различны, и важен порядок их расположения (кто на какой парте сидит), мы имеем дело с размещениями.
Первого школьника можно посадить на любую из 10 парт, то есть существует 10 способов.
После того как первый школьник сел, остаётся 9 свободных парт. Второго школьника можно посадить на любую из этих 9 парт (9 способов).
Третьего школьника можно посадить на любую из оставшихся 8 парт (8 способов).
По правилу умножения общее число способов равно произведению числа способов для каждого школьника: $10 \times 9 \times 8 = 720$.
Это соответствует формуле для числа размещений из $n$ элементов по $k$: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$. В нашем случае $n=10$ (парты) и $k=3$ (школьники).
$A_{10}^3 = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = 10 \times 9 \times 8 = 720$.
Ответ: 720

б)

Здесь нам нужно разместить 4 пассажиров по 9 вагонам так, чтобы все они были в разных вагонах. Задача аналогична предыдущей.
Первый пассажир может выбрать любой из 9 вагонов (9 способов).
Второй пассажир должен ехать в другом вагоне, поэтому у него остаётся 8 вариантов выбора.
Третий пассажир должен выбрать вагон, отличный от первых двух, поэтому у него 7 вариантов.
Четвёртый пассажир имеет 6 вариантов для выбора вагона.
Общее количество способов, по правилу умножения, равно: $9 \times 8 \times 7 \times 6 = 3024$.
Используя формулу размещений $A_n^k$, где $n=9$ (вагоны) и $k=4$ (пассажиры), получаем:
$A_9^4 = \frac{9!}{(9-4)!} = \frac{9!}{5!} = 9 \times 8 \times 7 \times 6 = 3024$.
Ответ: 3024

590 Сколько существует четырёхзначных чисел, составленных из нечётных цифр? из чётных цифр? из четырёх разных цифр?

из нечётных цифр?

Для составления четырёхзначных чисел мы можем использовать нечётные цифры: 1, 3, 5, 7, 9. Всего таких цифр 5. Поскольку в условии не сказано, что цифры должны быть разными, они могут повторяться. Четырёхзначное число имеет 4 разряда (тысячи, сотни, десятки, единицы).

• На место тысяч можно поставить любую из 5 нечётных цифр.
• На место сотен можно поставить любую из 5 нечётных цифр.
• На место десятков можно поставить любую из 5 нечётных цифр.
• На место единиц можно поставить любую из 5 нечётных цифр.

Чтобы найти общее количество таких чисел, нужно перемножить количество вариантов для каждого разряда (согласно комбинаторному правилу умножения):
$5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^4 = 625$

Ответ: 625

из чётных цифр?

Для составления чисел мы можем использовать чётные цифры: 0, 2, 4, 6, 8. Всего таких цифр 5. Цифры в числе могут повторяться.

• На место тысяч можно поставить любую из чётных цифр, кроме нуля (так как число не может начинаться с нуля). Значит, у нас есть 4 варианта: 2, 4, 6, 8.
• На место сотен можно поставить любую из 5 чётных цифр (включая ноль).
• На место десятков можно поставить любую из 5 чётных цифр.
• На место единиц можно поставить любую из 5 чётных цифр.

Общее количество таких чисел равно произведению количества вариантов для каждого разряда:
$4 \times 5 \times 5 \times 5 = 4 \times 5^3 = 500$

Ответ: 500

из четырёх разных цифр?

Для составления чисел мы используем все цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Всего 10 цифр. В условии сказано, что все четыре цифры в числе должны быть разными.

• На место тысяч можно поставить любую из 9 цифр (все, кроме нуля).
• На место сотен можно поставить любую из оставшихся 9 цифр (включая ноль, но исключая ту, что стоит на первом месте).
• На место десятков можно поставить любую из оставшихся 8 цифр (исключая те две, что уже использованы).
• На место единиц можно поставить любую из оставшихся 7 цифр.

Общее количество таких чисел равно произведению количества вариантов для каждого разряда:
$9 \times 9 \times 8 \times 7 = 4536$

Ответ: 4536

591 Сколько существует пятизначных чисел, которые делятся на 2? на 5? на 10?

Для решения этой задачи необходимо определить, сколько пятизначных чисел соответствует каждому из критериев делимости. Сначала найдем общее количество пятизначных чисел.

Пятизначные числа — это целые числа от 10000 до 99999. Общее количество таких чисел можно найти, посчитав количество элементов в этом диапазоне: $99999 - 10000 + 1 = 90000$.

Другой способ — комбинаторный. Пятизначное число состоит из пяти цифр.

• На первом месте (разряд десятков тысяч) может стоять любая цифра от 1 до 9 (9 вариантов), так как число не может начинаться с нуля.
• На каждом из следующих четырех мест может стоять любая цифра от 0 до 9 (по 10 вариантов).

Таким образом, общее количество пятизначных чисел равно: $9 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 90000$.

на 2?

Число делится на 2, если его последняя цифра является четной. Четные цифры — это 0, 2, 4, 6, 8 (всего 5 вариантов).Применяя комбинаторный метод, получаем:

• Первая цифра: 9 вариантов (1-9).
• Вторая, третья, четвертая цифры: по 10 вариантов (0-9).
• Пятая цифра: 5 вариантов (0, 2, 4, 6, 8).

Общее количество таких чисел: $9 \times 10 \times 10 \times 10 \times 5 = 45000$.
Также можно рассуждать, что ровно половина из всех 90000 пятизначных чисел делится на 2, что составляет $90000 / 2 = 45000$.
Ответ: 45000.

на 5?

Число делится на 5, если его последняя цифра — 0 или 5 (всего 2 варианта).Применяя комбинаторный метод, получаем:

• Первая цифра: 9 вариантов (1-9).
• Вторая, третья, четвертая цифры: по 10 вариантов (0-9).
• Пятая цифра: 2 варианта (0, 5).

Общее количество таких чисел: $9 \times 10 \times 10 \times 10 \times 2 = 18000$.
Также можно посчитать, что одна пятая всех пятизначных чисел делится на 5: $90000 / 5 = 18000$.
Ответ: 18000.

на 10?

Число делится на 10, если его последняя цифра — 0 (всего 1 вариант).Применяя комбинаторный метод, получаем:

• Первая цифра: 9 вариантов (1-9).
• Вторая, третья, четвертая цифры: по 10 вариантов (0-9).
• Пятая цифра: 1 вариант (0).

Общее количество таких чисел: $9 \times 10 \times 10 \times 10 \times 1 = 9000$.
Также можно посчитать, что одна десятая всех пятизначных чисел делится на 10: $90000 / 10 = 9000$.
Ответ: 9000.

592 a) В чемпионате по настольному теннису участвовало 40 спортсменов, и каждый с каждым сыграли по одной партии. Сколько всего сыграно партий?

б) На официальном приёме 50 человек обменялись рукопожатиями. Сколько было сделано рукопожатий?

в) В некоторой стране 25 городов, и каждые два соединены авиалинией. Сколько всего авиалиний в стране?

а) Чтобы найти общее количество сыгранных партий, нужно определить, сколько уникальных пар можно составить из 40 спортсменов. Каждая партия — это пара из двух спортсменов, причём порядок в паре не важен (игра Иванова с Петровым — это та же самая игра, что и Петрова с Ивановым). Это классическая задача на нахождение числа сочетаний.
Число сочетаний из n элементов по k находится по формуле: $C_n^k = \frac{n(n-1)...(n-k+1)}{k!}$.
Для нашего случая, где нужно выбрать пары (k=2) из n=40 спортсменов, формула упрощается до: $C_{40}^2 = \frac{40 \times (40-1)}{2}$.
Выполним расчёт:
Количество партий = $\frac{40 \times 39}{2} = 20 \times 39 = 780$.
Ответ: 780 партий.

б) Эта задача аналогична предыдущей. Каждое рукопожатие происходит между двумя людьми, и нам нужно найти общее количество таких уникальных пар из 50 человек.
Используем ту же формулу для нахождения числа сочетаний из n по 2: $C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$.
В данном случае n = 50.
Подставим значение в формулу:
Количество рукопожатий = $\frac{50 \times (50-1)}{2} = \frac{50 \times 49}{2} = 25 \times 49 = 1225$.
Ответ: 1225 рукопожатий.

в) Данная задача также решается через нахождение числа сочетаний. Каждая авиалиния соединяет пару городов, и порядок городов в этой паре не имеет значения. Нам нужно найти, сколько уникальных пар можно составить из 25 городов.
Применяем формулу для числа сочетаний из n по 2: $C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$.
Здесь n = 25.
Произведём вычисление:
Количество авиалиний = $\frac{25 \times (25-1)}{2} = \frac{25 \times 24}{2} = 25 \times 12 = 300$.
Ответ: 300 авиалиний.