Страница 173 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

579 Вычислите:

a) $ \frac{5^{12} \cdot (5^4)^2}{(5^5)^4} $;

б) $ \frac{2^6 \cdot (2^3)^5}{64^4} $;

В) $ \frac{(3^3)^2 \cdot 27}{81^2} $;

Г) $ \frac{25^6}{(5^3)^3 \cdot 125} $.

а) Для решения этого примера воспользуемся следующими свойствами степеней: при возведении степени в степень показатели перемножаются ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$), при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), а при делении вычитаются ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$).
Исходное выражение: $\frac{5^{12} \cdot (5^4)^2}{(5^5)^4}$.
Упростим числитель: $5^{12} \cdot (5^4)^2 = 5^{12} \cdot 5^{4 \cdot 2} = 5^{12} \cdot 5^8 = 5^{12+8} = 5^{20}$.
Упростим знаменатель: $(5^5)^4 = 5^{5 \cdot 4} = 5^{20}$.
Теперь разделим полученный числитель на знаменатель: $\frac{5^{20}}{5^{20}} = 5^{20-20} = 5^0 = 1$.
Ответ: 1

б) Приведем все числа к общему основанию 2. Нам известно, что $64 = 2^6$.
Исходное выражение: $\frac{2^6 \cdot (2^3)^5}{64^4}$.
Подставим $2^6$ вместо 64 в знаменатель: $\frac{2^6 \cdot (2^3)^5}{(2^6)^4}$.
Теперь применим свойства степеней. Упростим числитель: $2^6 \cdot (2^3)^5 = 2^6 \cdot 2^{3 \cdot 5} = 2^6 \cdot 2^{15} = 2^{6+15} = 2^{21}$.
Упростим знаменатель: $(2^6)^4 = 2^{6 \cdot 4} = 2^{24}$.
Разделим числитель на знаменатель: $\frac{2^{21}}{2^{24}} = 2^{21-24} = 2^{-3}$.
Используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем: $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$.
Ответ: $\frac{1}{8}$

в) Приведем все числа в выражении к общему основанию 3. Нам известно, что $27 = 3^3$ и $81 = 3^4$.
Исходное выражение: $\frac{(3^3)^2 \cdot 27}{81^2}$.
Заменим числа их степенями с основанием 3: $\frac{(3^3)^2 \cdot 3^3}{(3^4)^2}$.
Упростим числитель, используя свойства степеней: $(3^3)^2 \cdot 3^3 = 3^{3 \cdot 2} \cdot 3^3 = 3^6 \cdot 3^3 = 3^{6+3} = 3^9$.
Упростим знаменатель: $(3^4)^2 = 3^{4 \cdot 2} = 3^8$.
Выполним деление: $\frac{3^9}{3^8} = 3^{9-8} = 3^1 = 3$.
Ответ: 3

г) Приведем все числа в выражении к общему основанию 5. Нам известно, что $25 = 5^2$ и $125 = 5^3$.
Исходное выражение: $\frac{25^6}{(5^3)^3 \cdot 125}$.
Заменим числа их степенями с основанием 5: $\frac{(5^2)^6}{(5^3)^3 \cdot 5^3}$.
Упростим числитель: $(5^2)^6 = 5^{2 \cdot 6} = 5^{12}$.
Упростим знаменатель: $(5^3)^3 \cdot 5^3 = 5^{3 \cdot 3} \cdot 5^3 = 5^9 \cdot 5^3 = 5^{9+3} = 5^{12}$.
Выполним деление: $\frac{5^{12}}{5^{12}} = 5^{12-12} = 5^0 = 1$.
Ответ: 1

580 Найдите значение выражения:

а) $\frac{5^2 \cdot 2^4}{10^4}$;

б) $\frac{4^3 \cdot 3^8}{6^7}$;

в) $\frac{27^3 \cdot 25^5}{15^8}$;

г) $\frac{(125 \cdot 49)^3}{35^6}$.

а) Чтобы найти значение выражения $\frac{5^2 \cdot 2^4}{10^4}$, представим знаменатель в виде произведения степеней его простых множителей. Поскольку $10 = 2 \cdot 5$, то $10^4 = (2 \cdot 5)^4 = 2^4 \cdot 5^4$.
Подставим это в исходное выражение:
$\frac{5^2 \cdot 2^4}{2^4 \cdot 5^4}$
Сократим дробь на общий множитель $2^4$:
$\frac{5^2}{5^4}$
Используя свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, получаем:
$5^{2-4} = 5^{-2}$
По определению степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, имеем:
$5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$.
Ответ: $\frac{1}{25}$.

б) Для вычисления выражения $\frac{4^3 \cdot 3^8}{6^7}$ разложим основания степеней 4 и 6 на простые множители: $4 = 2^2$ и $6 = 2 \cdot 3$.
Теперь преобразуем числитель и знаменатель:
$4^3 = (2^2)^3 = 2^{2 \cdot 3} = 2^6$
$6^7 = (2 \cdot 3)^7 = 2^7 \cdot 3^7$
Подставим полученные выражения в исходную дробь:
$\frac{2^6 \cdot 3^8}{2^7 \cdot 3^7}$
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и применим правило деления степеней:
$\frac{2^6}{2^7} \cdot \frac{3^8}{3^7} = 2^{6-7} \cdot 3^{8-7} = 2^{-1} \cdot 3^1 = \frac{1}{2} \cdot 3 = \frac{3}{2}$.
Ответ: $\frac{3}{2}$.

в) Найдем значение выражения $\frac{27^3 \cdot 25^5}{15^8}$. Для этого представим основания степеней в виде степеней простых чисел: $27 = 3^3$, $25 = 5^2$ и $15 = 3 \cdot 5$.
Подставим эти значения в выражение:
$\frac{(3^3)^3 \cdot (5^2)^5}{(3 \cdot 5)^8} = \frac{3^{3 \cdot 3} \cdot 5^{2 \cdot 5}}{3^8 \cdot 5^8} = \frac{3^9 \cdot 5^{10}}{3^8 \cdot 5^8}$
Применим свойство деления степеней с одинаковым основанием:
$3^{9-8} \cdot 5^{10-8} = 3^1 \cdot 5^2$
Вычислим результат:
$3 \cdot 25 = 75$.
Ответ: $75$.

г) Чтобы найти значение выражения $\frac{(125 \cdot 49)^3}{35^6}$, преобразуем его, используя свойства степеней. Знаменатель можно записать как $35^6 = (35^2)^3$.
Теперь всё выражение можно представить в виде степени с показателем 3:
$\frac{(125 \cdot 49)^3}{(35^2)^3} = \left(\frac{125 \cdot 49}{35^2}\right)^3$
Вычислим значение дроби в скобках. Так как $35 = 5 \cdot 7$, то $35^2 = (5 \cdot 7)^2 = 5^2 \cdot 7^2 = 25 \cdot 49$.
$\left(\frac{125 \cdot 49}{25 \cdot 49}\right)^3$
Сократим дробь на 49:
$\left(\frac{125}{25}\right)^3$
Выполним деление в скобках: $125 \div 25 = 5$.
Получаем $5^3$.
Вычислим окончательное значение:
$5^3 = 125$.
Ответ: $125$.

581 ИЩЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ Вычислите:

a) $0,25^{40} \cdot 4^{42};$

б) $2^{100} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{103};$

в) $\left(\frac{3}{4}\right)^{50} \cdot \left(\frac{4}{3}\right)^{49};$

г) $\left(-\frac{2}{3}\right)^{24} \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{23}.$

а) $0,25^{40} \cdot 4^{42}$

Для решения этого примера воспользуемся свойствами степеней. Сначала представим десятичную дробь $0,25$ в виде обыкновенной дроби $\frac{1}{4}$.

$0,25^{40} \cdot 4^{42} = (\frac{1}{4})^{40} \cdot 4^{42}$

Теперь представим $4^{42}$ как произведение $4^{40} \cdot 4^2$, чтобы показатель степени одного из множителей совпал с показателем степени первого множителя.

$(\frac{1}{4})^{40} \cdot 4^{40} \cdot 4^2$

Используя свойство степени произведения $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$, сгруппируем первые два множителя:

$(\frac{1}{4} \cdot 4)^{40} \cdot 4^2$

Вычислим произведение в скобках:

$\frac{1}{4} \cdot 4 = 1$

Тогда выражение примет вид:

$1^{40} \cdot 4^2 = 1 \cdot 16 = 16$

Ответ: $16$.

б) $2^{100} \cdot (\frac{1}{2})^{103}$

Воспользуемся свойствами степеней. Представим $(\frac{1}{2})^{103}$ как произведение $(\frac{1}{2})^{100} \cdot (\frac{1}{2})^3$, чтобы получить одинаковый показатель степени с первым множителем.

$2^{100} \cdot (\frac{1}{2})^{100} \cdot (\frac{1}{2})^3$

Сгруппируем первые два множителя, используя свойство $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$:

$(2 \cdot \frac{1}{2})^{100} \cdot (\frac{1}{2})^3$

Вычислим произведение в скобках:

$2 \cdot \frac{1}{2} = 1$

Тогда выражение упрощается до:

$1^{100} \cdot (\frac{1}{2})^3 = 1 \cdot \frac{1^3}{2^3} = 1 \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{8}$

Ответ: $\frac{1}{8}$.

в) $(\frac{3}{4})^{50} \cdot (\frac{4}{3})^{49}$

Для решения используем свойства степеней. Представим $(\frac{3}{4})^{50}$ как произведение $(\frac{3}{4})^{49} \cdot (\frac{3}{4})^1$, чтобы уравнять показатели степеней.

$(\frac{3}{4})^{49} \cdot \frac{3}{4} \cdot (\frac{4}{3})^{49}$

Сгруппируем множители с одинаковым показателем степени:

$(\frac{3}{4})^{49} \cdot (\frac{4}{3})^{49} \cdot \frac{3}{4}$

Применим свойство степени произведения $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$:

$(\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3})^{49} \cdot \frac{3}{4}$

Произведение в скобках равно 1, так как дроби являются взаимно обратными:

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} = 1$

Получаем:

$1^{49} \cdot \frac{3}{4} = 1 \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{3}{4}$.

г) $(-\frac{2}{3})^{24} \cdot (\frac{3}{2})^{23}$

Сначала обратим внимание на знак. Так как отрицательное число $(-\frac{2}{3})$ возводится в четную степень (24), результат будет положительным:

$(-\frac{2}{3})^{24} = (\frac{2}{3})^{24}$

Теперь выражение выглядит так:

$(\frac{2}{3})^{24} \cdot (\frac{3}{2})^{23}$

Как и в предыдущих примерах, представим $(\frac{2}{3})^{24}$ в виде произведения $(\frac{2}{3})^{23} \cdot (\frac{2}{3})^1$, чтобы показатели степеней стали одинаковыми.

$(\frac{2}{3})^{23} \cdot \frac{2}{3} \cdot (\frac{3}{2})^{23}$

Сгруппируем множители с одинаковой степенью:

$(\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2})^{23} \cdot \frac{2}{3}$

Произведение в скобках равно 1, так как множители взаимно обратные:

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} = 1$

В итоге получаем:

$1^{23} \cdot \frac{2}{3} = 1 \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$.

582 РАССУЖДАЕМ Сравните:

a) $3^{10} \cdot 5^8$ и $15^9$;

б) $6^{18}$ и $2^{20} \cdot 3^{16}$;

в) $81^{10}$ и $2^{20} \cdot 5^{20}$;

г) $49^{15}$ и $2^{30} \cdot 3^{30}$.

а) Чтобы сравнить числа $3^{10} \cdot 5^8$ и $15^9$, приведем их к удобному для сравнения виду. Представим число $15^9$ в виде произведения степеней с основаниями 3 и 5: $15^9 = (3 \cdot 5)^9 = 3^9 \cdot 5^9$. Теперь необходимо сравнить два выражения: $3^{10} \cdot 5^8$ и $3^9 \cdot 5^9$. Преобразуем первое выражение: $3^{10} \cdot 5^8 = 3 \cdot 3^9 \cdot 5^8$. Преобразуем второе выражение: $3^9 \cdot 5^9 = 3^9 \cdot 5 \cdot 5^8$. Теперь сравним $3 \cdot (3^9 \cdot 5^8)$ и $5 \cdot (3^9 \cdot 5^8)$. Так как общий множитель $3^9 \cdot 5^8$ положителен, то сравнение сводится к сравнению коэффициентов 3 и 5. Поскольку $3 < 5$, то и $3 \cdot (3^9 \cdot 5^8) < 5 \cdot (3^9 \cdot 5^8)$. Следовательно, $3^{10} \cdot 5^8 < 15^9$.
Ответ: $3^{10} \cdot 5^8 < 15^9$.

б) Чтобы сравнить числа $6^{18}$ и $2^{20} \cdot 3^{16}$, приведем их к удобному для сравнения виду, разложив на простые множители. Представим число $6^{18}$: $6^{18} = (2 \cdot 3)^{18} = 2^{18} \cdot 3^{18}$. Теперь необходимо сравнить $2^{18} \cdot 3^{18}$ и $2^{20} \cdot 3^{16}$. Преобразуем первое выражение: $2^{18} \cdot 3^{18} = 2^{18} \cdot 3^2 \cdot 3^{16} = 9 \cdot (2^{18} \cdot 3^{16})$. Преобразуем второе выражение: $2^{20} \cdot 3^{16} = 2^2 \cdot 2^{18} \cdot 3^{16} = 4 \cdot (2^{18} \cdot 3^{16})$. Сравниваем $9 \cdot (2^{18} \cdot 3^{16})$ и $4 \cdot (2^{18} \cdot 3^{16})$. Так как общий множитель $2^{18} \cdot 3^{16}$ положителен, то сравнение сводится к сравнению коэффициентов 9 и 4. Поскольку $9 > 4$, то и $9 \cdot (2^{18} \cdot 3^{16}) > 4 \cdot (2^{18} \cdot 3^{16})$. Следовательно, $6^{18} > 2^{20} \cdot 3^{16}$.
Ответ: $6^{18} > 2^{20} \cdot 3^{16}$.

в) Чтобы сравнить числа $81^{10}$ и $2^{20} \cdot 5^{20}$, приведем их к степеням с одинаковыми показателями. Преобразуем первое число. Так как $81 = 3^4$, то: $81^{10} = (3^4)^{10} = 3^{4 \cdot 10} = 3^{40}$. Преобразуем второе число, используя свойство $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$: $2^{20} \cdot 5^{20} = (2 \cdot 5)^{20} = 10^{20}$. Теперь сравним $3^{40}$ и $10^{20}$. Приведем первое число к степени с показателем 20: $3^{40} = 3^{2 \cdot 20} = (3^2)^{20} = 9^{20}$. Теперь сравниваем $9^{20}$ и $10^{20}$. Так как у степеней одинаковые положительные показатели, сравниваем их основания. Поскольку $9 < 10$, то $9^{20} < 10^{20}$. Следовательно, $81^{10} < 2^{20} \cdot 5^{20}$.
Ответ: $81^{10} < 2^{20} \cdot 5^{20}$.

г) Чтобы сравнить числа $49^{15}$ и $2^{30} \cdot 3^{30}$, приведем их к степеням с одинаковыми показателями. Преобразуем первое число. Так как $49 = 7^2$, то: $49^{15} = (7^2)^{15} = 7^{2 \cdot 15} = 7^{30}$. Преобразуем второе число, используя свойство $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$: $2^{30} \cdot 3^{30} = (2 \cdot 3)^{30} = 6^{30}$. Теперь сравниваем $7^{30}$ и $6^{30}$. Так как у степеней одинаковые положительные показатели, сравниваем их основания. Поскольку $7 > 6$, то $7^{30} > 6^{30}$. Следовательно, $49^{15} > 2^{30} \cdot 3^{30}$.
Ответ: $49^{15} > 2^{30} \cdot 3^{30}$.

583 ИЩЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ Значение какого выражения больше:

а) $5^{20}$ или $55^{10}$;

б) $33^{15}$ или $3^{30}$;

в) $10^{30}$ или $1010^{10}$;

г) $10001^5$ или $100^{10}$?

а) Чтобы сравнить $5^{20}$ и $55^{10}$, приведем их к одному показателю степени. Общий кратный для показателей 20 и 10 - это 10. Представим $5^{20}$ в виде степени с показателем 10.

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем:

$5^{20} = 5^{2 \cdot 10} = (5^2)^{10} = 25^{10}$.

Теперь сравним $25^{10}$ и $55^{10}$. Поскольку показатели степени одинаковы, сравним их основания: $25$ и $55$.

Так как $25 < 55$, то и $25^{10} < 55^{10}$.

Следовательно, $5^{20} < 55^{10}$.

Ответ: $55^{10}$.

б) Сравним $33^{15}$ и $3^{30}$. Приведем оба выражения к общему показателю степени 15.

Преобразуем выражение $3^{30}$:

$3^{30} = 3^{2 \cdot 15} = (3^2)^{15} = 9^{15}$.

Теперь сравним $33^{15}$ и $9^{15}$. Так как показатели степени равны 15, сравним основания: $33$ и $9$.

Поскольку $33 > 9$, то $33^{15} > 9^{15}$.

Следовательно, $33^{15} > 3^{30}$.

Ответ: $33^{15}$.

в) Сравним $10^{30}$ и $1010^{10}$. Приведем выражения к общему показателю степени 10.

Преобразуем выражение $10^{30}$:

$10^{30} = 10^{3 \cdot 10} = (10^3)^{10} = 1000^{10}$.

Теперь сравним $1000^{10}$ и $1010^{10}$. Показатели степени равны 10, поэтому сравниваем основания: $1000$ и $1010$.

Так как $1000 < 1010$, то и $1000^{10} < 1010^{10}$.

Следовательно, $10^{30} < 1010^{10}$.

Ответ: $1010^{10}$.

г) Сравним $10001^5$ и $100^{10}$. Приведем выражения к общему показателю степени 5.

Преобразуем выражение $100^{10}$:

$100^{10} = 100^{2 \cdot 5} = (100^2)^5$.

Вычислим $100^2$: $100^2 = 100 \cdot 100 = 10000$.

Таким образом, $100^{10} = 10000^5$.

Теперь сравним $10001^5$ и $10000^5$. Показатели степени у выражений одинаковы, поэтому сравним их основания: $10001$ и $10000$.

Поскольку $10001 > 10000$, то $10001^5 > 10000^5$.

Следовательно, $10001^5 > 100^{10}$.

Ответ: $10001^5$.

584 Представьте в виде степени:

а) $4^{2k} \cdot 8^k$;

б) $6^{k-1} \cdot 2^{k+1} \cdot 3^{k+1}$;

в) $27^{k+1} \cdot 9^{k-1}$;

г) $10^k \cdot 25^k \cdot 2^{2k}$.

а) Чтобы представить выражение $4^{2k} \cdot 8^k$ в виде степени, приведем все основания к одному числу. Основания 4 и 8 являются степенями числа 2: $4 = 2^2$ и $8 = 2^3$.
Подставим эти значения в исходное выражение:
$4^{2k} \cdot 8^k = (2^2)^{2k} \cdot (2^3)^k$
Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, упростим каждый множитель:
$(2^2)^{2k} = 2^{2 \cdot 2k} = 2^{4k}$
$(2^3)^k = 2^{3k}$
Теперь выражение выглядит так: $2^{4k} \cdot 2^{3k}$.
По свойству умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, сложим показатели степеней:
$2^{4k} \cdot 2^{3k} = 2^{4k+3k} = 2^{7k}$.
Ответ: $2^{7k}$

б) В выражении $6^{k-1} \cdot 2^{k+1} \cdot 3^{k+1}$ заметим, что два последних множителя имеют одинаковый показатель степени $k+1$.
Используем свойство $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$ для множителей $2^{k+1}$ и $3^{k+1}$:
$2^{k+1} \cdot 3^{k+1} = (2 \cdot 3)^{k+1} = 6^{k+1}$
Теперь подставим это обратно в исходное выражение:
$6^{k-1} \cdot 6^{k+1}$
Теперь у нас есть произведение степеней с одинаковым основанием 6. Применим свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$6^{k-1} \cdot 6^{k+1} = 6^{(k-1) + (k+1)} = 6^{k-1+k+1} = 6^{2k}$.
Ответ: $6^{2k}$

в) Чтобы представить выражение $27^{k+1} \cdot 9^{k-1}$ в виде степени, приведем основания 27 и 9 к общему основанию 3. Мы знаем, что $27 = 3^3$ и $9 = 3^2$.
Заменим основания в выражении:
$27^{k+1} \cdot 9^{k-1} = (3^3)^{k+1} \cdot (3^2)^{k-1}$
Применим свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(3^3)^{k+1} = 3^{3(k+1)} = 3^{3k+3}$
$(3^2)^{k-1} = 3^{2(k-1)} = 3^{2k-2}$
Теперь перемножим полученные степени:
$3^{3k+3} \cdot 3^{2k-2}$
Используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, сложим показатели:
$3^{(3k+3) + (2k-2)} = 3^{3k+3+2k-2} = 3^{5k+1}$.
Ответ: $3^{5k+1}$

г) В выражении $10^k \cdot 25^k \cdot 2^{2k}$ приведем все основания к простым множителям.
$10 = 2 \cdot 5$, $25 = 5^2$.
Подставим эти разложения в выражение:
$10^k \cdot 25^k \cdot 2^{2k} = (2 \cdot 5)^k \cdot (5^2)^k \cdot 2^{2k}$
Раскроем скобки, используя свойства степени $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ и $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(2^k \cdot 5^k) \cdot 5^{2k} \cdot 2^{2k}$
Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями:
$(2^k \cdot 2^{2k}) \cdot (5^k \cdot 5^{2k})$
Применим правило умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ для каждой группы:
$2^{k+2k} \cdot 5^{k+2k} = 2^{3k} \cdot 5^{3k}$
Так как показатели степеней одинаковы, мы можем перемножить основания, используя свойство $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$:
$2^{3k} \cdot 5^{3k} = (2 \cdot 5)^{3k} = 10^{3k}$.
Ответ: $10^{3k}$

585 РАССУЖДАЕМ При каких значениях x выполняется равенство:

a) $2^{x+4} = 64$, $2^{x} \cdot 2^{3} = 64$, $(2^{x})^{3} = 64$;

б) $10^{3x+1} = 10 000$, $10^{x} \cdot 10^{x+1} = 100 000$, $(10^{x+1})^{2} = 1 000 000$?

а)

Для уравнения $2^{x+4} = 64$:
Чтобы решить показательное уравнение, нужно привести обе его части к одному основанию. В данном случае, это основание 2. Число 64 можно представить как степень двойки: $64 = 2^6$.
Подставив это значение в уравнение, получим: $2^{x+4} = 2^6$.
Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели: $x+4 = 6$.
Решая это простое линейное уравнение, находим $x$: $x = 6 - 4$
$x = 2$.
Ответ: $x=2$.

Для уравнения $2^x \cdot 2^3 = 64$:
Воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Левая часть уравнения преобразуется в $2^{x+3}$.
Уравнение принимает вид: $2^{x+3} = 64$.
Представим 64 как $2^6$: $2^{x+3} = 2^6$.
Приравниваем показатели степеней: $x+3 = 6$.
Находим $x$: $x = 6 - 3$
$x = 3$.
Ответ: $x=3$.

Для уравнения $(2^x)^3 = 64$:
Применим свойство возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Левая часть уравнения преобразуется в $2^{x \cdot 3}$ или $2^{3x}$.
Уравнение примет вид: $2^{3x} = 64$.
Заменяем 64 на $2^6$: $2^{3x} = 2^6$.
Приравниваем показатели: $3x = 6$.
Находим $x$: $x = \frac{6}{3}$
$x = 2$.
Ответ: $x=2$.

б)

Для уравнения $10^{3x+1} = 10\,000$:
Приведем обе части к основанию 10. Число 10 000 можно записать как $10^4$.
Уравнение примет вид: $10^{3x+1} = 10^4$.
Приравниваем показатели степеней: $3x+1 = 4$.
Решаем полученное уравнение: $3x = 4 - 1$
$3x = 3$
$x = 1$.
Ответ: $x=1$.

Для уравнения $10^x \cdot 10^{x+1} = 100\,000$:
Упростим левую часть, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $10^x \cdot 10^{x+1} = 10^{x + (x+1)} = 10^{2x+1}$.
Представим правую часть в виде степени числа 10: $100\,000 = 10^5$.
Уравнение принимает вид: $10^{2x+1} = 10^5$.
Приравниваем показатели: $2x+1 = 5$.
Решаем уравнение: $2x = 5 - 1$
$2x = 4$
$x = 2$.
Ответ: $x=2$.

Для уравнения $(10^{x+1})^2 = 1\,000\,000$:
Упростим левую часть, используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $(10^{x+1})^2 = 10^{(x+1) \cdot 2} = 10^{2x+2}$.
Представим правую часть как степень 10: $1\,000\,000 = 10^6$.
Уравнение примет вид: $10^{2x+2} = 10^6$.
Приравниваем показатели: $2x+2 = 6$.
Решаем уравнение: $2x = 6 - 2$
$2x = 4$
$x = 2$.
Ответ: $x=2$.

586 ИССЛЕДУЕМ Имеются кубики с ребром, равным 3 единицам, 4 единицам, 5 единицам и т. д. Каждый кубик покрасили и разрезали на единичные кубики. Заполните таблицу, ответив для каждого случая на вопросы:

1) Сколько получилось единичных кубиков?

2) Сколько кубиков, у которых покрашено три грани?

3) Сколько кубиков, у которых покрашено две грани?

4) Сколько кубиков, у которых покрашена одна грань?

5) Сколько получилось непокрашенных кубиков?

Для решения этой задачи мы выведем общие формулы для куба с длиной ребра n единиц, а затем, используя эти формулы, заполним таблицу.

Представим большой куб с ребром длиной n, который был покрашен снаружи, а затем разрезан на маленькие единичные кубики (с ребром 1).

1) Сколько получилось единичных кубиков?

Чтобы найти общее количество единичных кубиков, из которых состоит большой куб, нужно вычислить его объем. Если длина ребра куба равна $n$ единиц, то его объем равен произведению длины, ширины и высоты, то есть $n \times n \times n$.

Ответ: $n^3$

2) Сколько кубиков, у которых покрашено три грани?

Три грани могут быть покрашены только у тех кубиков, которые находятся в вершинах (углах) большого куба. У любого куба 8 вершин. Следовательно, количество таких кубиков не зависит от размера куба (при $n \ge 2$) и всегда равно 8.

Ответ: 8

3) Сколько кубиков, у которых покрашено две грани?

Две грани покрашены у кубиков, которые расположены на ребрах большого куба, но не являются угловыми. У куба 12 ребер. На каждом ребре лежит $n$ кубиков. Из них 2 кубика — угловые (у них покрашено 3 грани). Значит, на каждом ребре остается $n-2$ кубика с двумя покрашенными гранями. Поскольку ребер 12, общее число таких кубиков равно $12 \times (n-2)$.

Ответ: $12(n-2)$

4) Сколько кубиков, у которых покрашена одна грань?

Одна грань покрашена у кубиков, которые находятся на гранях (сторонах) большого куба, но не на его ребрах. У куба 6 граней. Каждая грань представляет собой квадрат со стороной $n$. Кубики, имеющие одну покрашенную грань, образуют на каждой грани внутренний квадрат со стороной $n-2$ (мы мысленно убираем по одному ряду кубиков с каждой из четырех сторон грани). Количество кубиков в таком внутреннем квадрате — $(n-2) \times (n-2) = (n-2)^2$. Так как у куба 6 граней, общее число таких кубиков равно $6 \times (n-2)^2$.

Ответ: $6(n-2)^2$

5) Сколько получилось непокрашенных кубиков?

Непокрашенные кубики находятся полностью внутри большого куба и не соприкасаются ни с одной из его внешних граней. Они образуют внутренний, "невидимый" куб. Если у большого куба ребро равно $n$, то после удаления внешнего слоя толщиной в один кубик со всех сторон, ребро внутреннего куба станет равно $n-2$. Объем этого внутреннего куба, а следовательно, и количество непокрашенных кубиков, равно $(n-2) \times (n-2) \times (n-2) = (n-2)^3$.

Ответ: $(n-2)^3$

Теперь заполним таблицу, подставляя значения $n=3, 4, 5, 6$ в полученные формулы.