Номер 579, страница 173 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 6.2. Степень степени, произведения и дроби. Глава 6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 579, страница 173.

579 Вычислите:

a) $ \frac{5^{12} \cdot (5^4)^2}{(5^5)^4} $;

б) $ \frac{2^6 \cdot (2^3)^5}{64^4} $;

В) $ \frac{(3^3)^2 \cdot 27}{81^2} $;

Г) $ \frac{25^6}{(5^3)^3 \cdot 125} $.

а) Для решения этого примера воспользуемся следующими свойствами степеней: при возведении степени в степень показатели перемножаются ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$), при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), а при делении вычитаются ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$).
Исходное выражение: $\frac{5^{12} \cdot (5^4)^2}{(5^5)^4}$.
Упростим числитель: $5^{12} \cdot (5^4)^2 = 5^{12} \cdot 5^{4 \cdot 2} = 5^{12} \cdot 5^8 = 5^{12+8} = 5^{20}$.
Упростим знаменатель: $(5^5)^4 = 5^{5 \cdot 4} = 5^{20}$.
Теперь разделим полученный числитель на знаменатель: $\frac{5^{20}}{5^{20}} = 5^{20-20} = 5^0 = 1$.
Ответ: 1

б) Приведем все числа к общему основанию 2. Нам известно, что $64 = 2^6$.
Исходное выражение: $\frac{2^6 \cdot (2^3)^5}{64^4}$.
Подставим $2^6$ вместо 64 в знаменатель: $\frac{2^6 \cdot (2^3)^5}{(2^6)^4}$.
Теперь применим свойства степеней. Упростим числитель: $2^6 \cdot (2^3)^5 = 2^6 \cdot 2^{3 \cdot 5} = 2^6 \cdot 2^{15} = 2^{6+15} = 2^{21}$.
Упростим знаменатель: $(2^6)^4 = 2^{6 \cdot 4} = 2^{24}$.
Разделим числитель на знаменатель: $\frac{2^{21}}{2^{24}} = 2^{21-24} = 2^{-3}$.
Используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем: $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$.
Ответ: $\frac{1}{8}$

в) Приведем все числа в выражении к общему основанию 3. Нам известно, что $27 = 3^3$ и $81 = 3^4$.
Исходное выражение: $\frac{(3^3)^2 \cdot 27}{81^2}$.
Заменим числа их степенями с основанием 3: $\frac{(3^3)^2 \cdot 3^3}{(3^4)^2}$.
Упростим числитель, используя свойства степеней: $(3^3)^2 \cdot 3^3 = 3^{3 \cdot 2} \cdot 3^3 = 3^6 \cdot 3^3 = 3^{6+3} = 3^9$.
Упростим знаменатель: $(3^4)^2 = 3^{4 \cdot 2} = 3^8$.
Выполним деление: $\frac{3^9}{3^8} = 3^{9-8} = 3^1 = 3$.
Ответ: 3

г) Приведем все числа в выражении к общему основанию 5. Нам известно, что $25 = 5^2$ и $125 = 5^3$.
Исходное выражение: $\frac{25^6}{(5^3)^3 \cdot 125}$.
Заменим числа их степенями с основанием 5: $\frac{(5^2)^6}{(5^3)^3 \cdot 5^3}$.
Упростим числитель: $(5^2)^6 = 5^{2 \cdot 6} = 5^{12}$.
Упростим знаменатель: $(5^3)^3 \cdot 5^3 = 5^{3 \cdot 3} \cdot 5^3 = 5^9 \cdot 5^3 = 5^{9+3} = 5^{12}$.
Выполним деление: $\frac{5^{12}}{5^{12}} = 5^{12-12} = 5^0 = 1$.
Ответ: 1