Номер 576, страница 172 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 6.2. Степень степени, произведения и дроби. Глава 6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 576, страница 172.

576 a) $(a^2b)^2 \cdot (ab^2)^3;$

б) $(x^3y)^3 \cdot (xy^2)^3;$

в) $(-\frac{1}{2}m^2n)^2 \cdot (4mn^3)^2;$

г) $(-yz)^2 \cdot (2yz)^3 \cdot 0,5z;$

д) $((-0,1a^4b)^2)^3;$

е) $-0,01c^3(-10ac^2)^2.$

а) Чтобы упростить выражение $(a^2b)^2 \cdot (ab^2)^3$, сначала возведем в степень каждый из множителей в скобках, используя правила возведения произведения в степень $((xy)^n = x^n y^n)$ и возведения степени в степень $((x^m)^n = x^{mn})$.
$(a^2b)^2 = (a^2)^2 \cdot b^2 = a^{2 \cdot 2}b^2 = a^4b^2$
$(ab^2)^3 = a^3 \cdot (b^2)^3 = a^3b^{2 \cdot 3} = a^3b^6$
Теперь перемножим полученные выражения, используя правило умножения степеней с одинаковыми основаниями ($x^m \cdot x^n = x^{m+n}$):
$a^4b^2 \cdot a^3b^6 = a^{4+3}b^{2+6} = a^7b^8$
Ответ: $a^7b^8$

б) Упростим выражение $(x^3y)^3 \cdot (xy^2)^3$. Возводим в степень каждый множитель в скобках:
$(x^3y)^3 = (x^3)^3y^3 = x^9y^3$
$(xy^2)^3 = x^3(y^2)^3 = x^3y^6$
Далее перемножаем полученные одночлены:
$x^9y^3 \cdot x^3y^6 = x^{9+3}y^{3+6} = x^{12}y^9$
Ответ: $x^{12}y^9$

в) Решим пример $(-\frac{1}{2}m^2n)^2 \cdot (4mn^3)^2$. Сначала возводим в квадрат каждый из одночленов:
$(-\frac{1}{2}m^2n)^2 = (-\frac{1}{2})^2 \cdot (m^2)^2 \cdot n^2 = \frac{1}{4}m^4n^2$
$(4mn^3)^2 = 4^2 \cdot m^2 \cdot (n^3)^2 = 16m^2n^6$
Далее, перемножаем полученные выражения, группируя числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями:
$(\frac{1}{4}m^4n^2) \cdot (16m^2n^6) = (\frac{1}{4} \cdot 16) \cdot (m^4m^2) \cdot (n^2n^6) = 4m^{4+2}n^{2+6} = 4m^6n^8$
Ответ: $4m^6n^8$

г) Упростим выражение $(-yz)^2 \cdot (2yz)^3 \cdot 0,5z$. Сначала возводим в степень выражения в скобках:
$(-yz)^2 = (-1)^2 y^2 z^2 = y^2z^2$
$(2yz)^3 = 2^3y^3z^3 = 8y^3z^3$
Теперь перемножаем все три множителя:
$y^2z^2 \cdot 8y^3z^3 \cdot 0,5z$
Группируем и умножаем числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями:
$(8 \cdot 0,5) \cdot (y^2 \cdot y^3) \cdot (z^2 \cdot z^3 \cdot z^1) = 4y^{2+3}z^{2+3+1} = 4y^5z^6$
Ответ: $4y^5z^6$

д) Для упрощения выражения $((-0,1a^4b)^2)^3$ воспользуемся свойством возведения степени в степень $((x^m)^n = x^{mn})$. Можно перемножить показатели степеней: $2 \cdot 3 = 6$.
$((-0,1a^4b)^2)^3 = (-0,1a^4b)^{2 \cdot 3} = (-0,1a^4b)^6$
Теперь возводим каждый множитель в 6-ю степень. Четная степень отрицательного числа дает положительный результат.
$(-0,1)^6 \cdot (a^4)^6 \cdot b^6 = 0,000001 \cdot a^{4 \cdot 6} \cdot b^6 = 0,000001a^{24}b^6$
Ответ: $0,000001a^{24}b^6$

е) Упростим выражение $-0,01c^3(-10ac^2)^2$. В первую очередь выполняем возведение в степень:
$(-10ac^2)^2 = (-10)^2 \cdot a^2 \cdot (c^2)^2 = 100a^2c^4$
Подставляем результат в исходное выражение:
$-0,01c^3 \cdot (100a^2c^4)$
Теперь перемножаем одночлены, группируя коэффициенты и переменные:
$(-0,01 \cdot 100) \cdot a^2 \cdot (c^3 \cdot c^4) = -1 \cdot a^2 \cdot c^{3+4} = -a^2c^7$
Ответ: $-a^2c^7$