Номер 574, страница 172 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 6.2. Степень степени, произведения и дроби. Глава 6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 574, страница 172.

574 ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ Вычислите:

a) $\frac{10^3}{2^3}$;

в) $100^4 : 50^4$;

д) $\frac{6^6}{3^6}$;

ж) $7^3 : 14^3$;

б) $8^{12} : 2^{30}$;

г) $25^3 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^6$;

е) $9^5 : 3^9$;

з) $16^4 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^8$.

а) Для вычисления выражения $\frac{10^3}{2^3}$ воспользуемся свойством степени частного: $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$.
$\frac{10^3}{2^3} = (\frac{10}{2})^3 = 5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$.
Ответ: 125.

б) Для вычисления выражения $8^{12} : 2^{30}$ приведем степени к одному основанию. Заметим, что $8 = 2^3$.
Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$8^{12} = (2^3)^{12} = 2^{3 \cdot 12} = 2^{36}$.
Теперь выполним деление степеней с одинаковым основанием, используя свойство $a^m : a^n = a^{m-n}$:
$2^{36} : 2^{30} = 2^{36-30} = 2^6 = 64$.
Ответ: 64.

в) Для вычисления выражения $100^4 : 50^4$ воспользуемся свойством частного степеней с одинаковым показателем: $a^n : b^n = (a : b)^n$.
$100^4 : 50^4 = (100 : 50)^4 = 2^4 = 16$.
Ответ: 16.

г) Для вычисления выражения $25^3 \cdot (\frac{1}{5})^6$ приведем степени к одному основанию. Заметим, что $25 = 5^2$.
Преобразуем множители, используя свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ и свойство степени дроби $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$:
$25^3 = (5^2)^3 = 5^6$.
$(\frac{1}{5})^6 = \frac{1^6}{5^6} = \frac{1}{5^6}$.
Теперь выполним умножение:
$5^6 \cdot \frac{1}{5^6} = \frac{5^6}{5^6} = 1$.
Ответ: 1.

д) Для вычисления выражения $\frac{6^6}{3^5}$ представим основание 6 в виде произведения $6 = 2 \cdot 3$.
Используем свойство степени произведения $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$:
$6^6 = (2 \cdot 3)^6 = 2^6 \cdot 3^6$.
Подставим это в исходное выражение:
$\frac{2^6 \cdot 3^6}{3^5}$.
Теперь сократим дробь, используя свойство частного степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$2^6 \cdot 3^{6-5} = 2^6 \cdot 3^1 = 64 \cdot 3 = 192$.
Ответ: 192.

е) Для вычисления выражения $9^5 : 3^9$ приведем степени к одному основанию. Заметим, что $9 = 3^2$.
Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$9^5 = (3^2)^5 = 3^{2 \cdot 5} = 3^{10}$.
Теперь выполним деление степеней с одинаковым основанием, используя свойство $a^m : a^n = a^{m-n}$:
$3^{10} : 3^9 = 3^{10-9} = 3^1 = 3$.
Ответ: 3.

ж) Для вычисления выражения $7^3 \cdot 14^3$ можно разложить число 14 на простые множители: $14 = 2 \cdot 7$.
Используя свойство степени произведения $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$, получаем:
$14^3 = (2 \cdot 7)^3 = 2^3 \cdot 7^3$.
Подставим это в исходное выражение:
$7^3 \cdot (2^3 \cdot 7^3) = 2^3 \cdot (7^3 \cdot 7^3)$.
Используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем:
$2^3 \cdot 7^{3+3} = 2^3 \cdot 7^6 = 8 \cdot 117649 = 941192$.
Ответ: 941192.

з) Для вычисления выражения $16^4 \cdot (\frac{1}{4})^8$ приведем степени к одному основанию. Заметим, что $16 = 4^2$.
Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$16^4 = (4^2)^4 = 4^{2 \cdot 4} = 4^8$.
Подставим в исходное выражение:
$4^8 \cdot (\frac{1}{4})^8$.
Теперь используем свойство произведения степеней с одинаковым показателем $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$:
$(4 \cdot \frac{1}{4})^8 = 1^8 = 1$.
Ответ: 1.