Номер 578, страница 172 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 6.2. Степень степени, произведения и дроби. Глава 6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 578, страница 172.

578 РАССУЖДАЕМ

а) Докажите, что если сторону квадрата увеличить в 10 раз, то его площадь увеличится в 100 раз.

б) Во сколько раз увеличится объём куба, если его ребро увеличить в $n$ раз?

а) Докажем утверждение. Пусть сторона исходного квадрата равна $a$. Тогда его площадь $S_1$ вычисляется по формуле: $S_1 = a^2$.

Если сторону квадрата увеличить в 10 раз, то длина новой стороны будет равна $10a$. Площадь нового квадрата, обозначим ее $S_2$, будет равна квадрату его новой стороны:

$S_2 = (10a)^2 = 10^2 \cdot a^2 = 100a^2$.

Теперь найдем, во сколько раз новая площадь $S_2$ больше исходной площади $S_1$. для этого вычислим их отношение:

$\frac{S_2}{S_1} = \frac{100a^2}{a^2} = 100$.

Отношение площадей равно 100. Это означает, что площадь квадрата увеличилась в 100 раз. Утверждение доказано.

Ответ: утверждение доказано.

б) Решим задачу в общем виде. Пусть ребро исходного куба равно $a$. Объем куба $V_1$ вычисляется по формуле: $V_1 = a^3$.

Если ребро куба увеличить в $n$ раз, то длина нового ребра станет $na$. Объем нового куба, обозначим его $V_2$, будет равен кубу его нового ребра:

$V_2 = (na)^3 = n^3 \cdot a^3 = n^3a^3$.

Чтобы найти, во сколько раз увеличился объем, найдем отношение нового объема $V_2$ к исходному объему $V_1$:

$\frac{V_2}{V_1} = \frac{n^3a^3}{a^3} = n^3$.

Следовательно, при увеличении ребра куба в $n$ раз, его объем увеличивается в $n^3$ раз.

Ответ: в $n^3$ раз.