Номер 577, страница 172 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 6.2. Степень степени, произведения и дроби. Глава 6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 577, страница 172.

577 a) $\frac{(2ab)^2}{4ab^3}$;

Б) $\frac{24x^4y^3}{(2xy)^3}$;

В) $\frac{-81b^6c^3}{(3b^2c)^4}$;

Г) $\frac{(2a^2c^5)^2}{-(4a^2c^2)^3}$;

Д) $\frac{-9(a^2c^3)^3}{(3a^3c^2)^3}$;

e) $\frac{(x^2)^3(y^2)^2}{(x^3y^3)^3}$.

а) $\frac{(2ab)^2}{4ab^3}$
Для решения упростим выражение, используя свойства степеней. Сначала возведем в степень выражение в числителе: $(ab)^n = a^n b^n$ и $(x^m)^n = x^{mn}$.
$\frac{(2ab)^2}{4ab^3} = \frac{2^2 a^2 b^2}{4ab^3} = \frac{4a^2b^2}{4ab^3}$
Теперь сократим дробь. Сократим числовые коэффициенты и переменные с одинаковыми основаниями, используя правило $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$.
$\frac{4}{4} \cdot \frac{a^2}{a^1} \cdot \frac{b^2}{b^3} = 1 \cdot a^{2-1} \cdot b^{2-3} = a^1 \cdot b^{-1} = a \cdot \frac{1}{b} = \frac{a}{b}$
Ответ: $\frac{a}{b}$

б) $\frac{24x^4y^3}{(2xy)^3}$
Сначала раскроем скобки в знаменателе, возведя каждый множитель в куб:
$(2xy)^3 = 2^3 x^3 y^3 = 8x^3y^3$
Подставим полученное выражение в знаменатель:
$\frac{24x^4y^3}{8x^3y^3}$
Теперь сократим дробь по частям:
$\frac{24}{8} \cdot \frac{x^4}{x^3} \cdot \frac{y^3}{y^3} = 3 \cdot x^{4-3} \cdot y^{3-3} = 3 \cdot x^1 \cdot y^0 = 3x \cdot 1 = 3x$
Ответ: $3x$

в) $\frac{-81b^6c^3}{(3b^2c)^4}$
Раскроем скобки в знаменателе, возведя выражение в четвертую степень:
$(3b^2c)^4 = 3^4 (b^2)^4 c^4 = 81b^{2 \cdot 4}c^4 = 81b^8c^4$
Подставим результат в исходное выражение:
$\frac{-81b^6c^3}{81b^8c^4}$
Сократим дробь:
$\frac{-81}{81} \cdot \frac{b^6}{b^8} \cdot \frac{c^3}{c^4} = -1 \cdot b^{6-8} \cdot c^{3-4} = -1 \cdot b^{-2} \cdot c^{-1} = -\frac{1}{b^2c}$
Ответ: $-\frac{1}{b^2c}$

г) $\frac{(2a^2c^5)^2}{-(4a^2c^2)^3}$
Возведем в степень выражения в числителе и знаменателе:
Числитель: $(2a^2c^5)^2 = 2^2(a^2)^2(c^5)^2 = 4a^4c^{10}$
Знаменатель: $-(4a^2c^2)^3 = -(4^3(a^2)^3(c^2)^3) = -64a^6c^6$
Теперь разделим числитель на знаменатель:
$\frac{4a^4c^{10}}{-64a^6c^6} = \frac{4}{-64} \cdot \frac{a^4}{a^6} \cdot \frac{c^{10}}{c^6} = -\frac{1}{16} \cdot a^{4-6} \cdot c^{10-6} = -\frac{1}{16} a^{-2} c^4 = -\frac{c^4}{16a^2}$
Ответ: $-\frac{c^4}{16a^2}$

д) $\frac{-9(a^2c^3)^3}{(3a^3c^2)^3}$
Возведем в степень выражения в скобках в числителе и знаменателе:
Числитель: $-9(a^2c^3)^3 = -9(a^{2 \cdot 3}c^{3 \cdot 3}) = -9a^6c^9$
Знаменатель: $(3a^3c^2)^3 = 3^3(a^3)^3(c^2)^3 = 27a^9c^6$
Подставим полученные выражения в дробь:
$\frac{-9a^6c^9}{27a^9c^6} = \frac{-9}{27} \cdot \frac{a^6}{a^9} \cdot \frac{c^9}{c^6} = -\frac{1}{3} \cdot a^{6-9} \cdot c^{9-6} = -\frac{1}{3} a^{-3} c^3 = -\frac{c^3}{3a^3}$
Ответ: $-\frac{c^3}{3a^3}$

е) $\frac{(x^2)^3(y^2)^2}{(x^3y^3)^3}$
Используем свойство степени $(x^m)^n = x^{mn}$ для упрощения числителя и знаменателя.
Числитель: $(x^2)^3(y^2)^2 = x^{2 \cdot 3} \cdot y^{2 \cdot 2} = x^6y^4$
Знаменатель: $(x^3y^3)^3 = (x^3)^3(y^3)^3 = x^{3 \cdot 3}y^{3 \cdot 3} = x^9y^9$
Получаем дробь:
$\frac{x^6y^4}{x^9y^9} = \frac{x^6}{x^9} \cdot \frac{y^4}{y^9} = x^{6-9} \cdot y^{4-9} = x^{-3}y^{-5} = \frac{1}{x^3y^5}$
Ответ: $\frac{1}{x^3y^5}$