Номер 581, страница 173 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 6.2. Степень степени, произведения и дроби. Глава 6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 581, страница 173.

581 ИЩЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ Вычислите:

a) $0,25^{40} \cdot 4^{42};$

б) $2^{100} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{103};$

в) $\left(\frac{3}{4}\right)^{50} \cdot \left(\frac{4}{3}\right)^{49};$

г) $\left(-\frac{2}{3}\right)^{24} \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{23}.$

а) $0,25^{40} \cdot 4^{42}$

Для решения этого примера воспользуемся свойствами степеней. Сначала представим десятичную дробь $0,25$ в виде обыкновенной дроби $\frac{1}{4}$.

$0,25^{40} \cdot 4^{42} = (\frac{1}{4})^{40} \cdot 4^{42}$

Теперь представим $4^{42}$ как произведение $4^{40} \cdot 4^2$, чтобы показатель степени одного из множителей совпал с показателем степени первого множителя.

$(\frac{1}{4})^{40} \cdot 4^{40} \cdot 4^2$

Используя свойство степени произведения $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$, сгруппируем первые два множителя:

$(\frac{1}{4} \cdot 4)^{40} \cdot 4^2$

Вычислим произведение в скобках:

$\frac{1}{4} \cdot 4 = 1$

Тогда выражение примет вид:

$1^{40} \cdot 4^2 = 1 \cdot 16 = 16$

Ответ: $16$.

б) $2^{100} \cdot (\frac{1}{2})^{103}$

Воспользуемся свойствами степеней. Представим $(\frac{1}{2})^{103}$ как произведение $(\frac{1}{2})^{100} \cdot (\frac{1}{2})^3$, чтобы получить одинаковый показатель степени с первым множителем.

$2^{100} \cdot (\frac{1}{2})^{100} \cdot (\frac{1}{2})^3$

Сгруппируем первые два множителя, используя свойство $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$:

$(2 \cdot \frac{1}{2})^{100} \cdot (\frac{1}{2})^3$

Вычислим произведение в скобках:

$2 \cdot \frac{1}{2} = 1$

Тогда выражение упрощается до:

$1^{100} \cdot (\frac{1}{2})^3 = 1 \cdot \frac{1^3}{2^3} = 1 \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{8}$

Ответ: $\frac{1}{8}$.

в) $(\frac{3}{4})^{50} \cdot (\frac{4}{3})^{49}$

Для решения используем свойства степеней. Представим $(\frac{3}{4})^{50}$ как произведение $(\frac{3}{4})^{49} \cdot (\frac{3}{4})^1$, чтобы уравнять показатели степеней.

$(\frac{3}{4})^{49} \cdot \frac{3}{4} \cdot (\frac{4}{3})^{49}$

Сгруппируем множители с одинаковым показателем степени:

$(\frac{3}{4})^{49} \cdot (\frac{4}{3})^{49} \cdot \frac{3}{4}$

Применим свойство степени произведения $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$:

$(\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3})^{49} \cdot \frac{3}{4}$

Произведение в скобках равно 1, так как дроби являются взаимно обратными:

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} = 1$

Получаем:

$1^{49} \cdot \frac{3}{4} = 1 \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{3}{4}$.

г) $(-\frac{2}{3})^{24} \cdot (\frac{3}{2})^{23}$

Сначала обратим внимание на знак. Так как отрицательное число $(-\frac{2}{3})$ возводится в четную степень (24), результат будет положительным:

$(-\frac{2}{3})^{24} = (\frac{2}{3})^{24}$

Теперь выражение выглядит так:

$(\frac{2}{3})^{24} \cdot (\frac{3}{2})^{23}$

Как и в предыдущих примерах, представим $(\frac{2}{3})^{24}$ в виде произведения $(\frac{2}{3})^{23} \cdot (\frac{2}{3})^1$, чтобы показатели степеней стали одинаковыми.

$(\frac{2}{3})^{23} \cdot \frac{2}{3} \cdot (\frac{3}{2})^{23}$

Сгруппируем множители с одинаковой степенью:

$(\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2})^{23} \cdot \frac{2}{3}$

Произведение в скобках равно 1, так как множители взаимно обратные:

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} = 1$

В итоге получаем:

$1^{23} \cdot \frac{2}{3} = 1 \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$.