Номер 580, страница 173 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 6.2. Степень степени, произведения и дроби. Глава 6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 580, страница 173.

580 Найдите значение выражения:

а) $\frac{5^2 \cdot 2^4}{10^4}$;

б) $\frac{4^3 \cdot 3^8}{6^7}$;

в) $\frac{27^3 \cdot 25^5}{15^8}$;

г) $\frac{(125 \cdot 49)^3}{35^6}$.

а) Чтобы найти значение выражения $\frac{5^2 \cdot 2^4}{10^4}$, представим знаменатель в виде произведения степеней его простых множителей. Поскольку $10 = 2 \cdot 5$, то $10^4 = (2 \cdot 5)^4 = 2^4 \cdot 5^4$.
Подставим это в исходное выражение:
$\frac{5^2 \cdot 2^4}{2^4 \cdot 5^4}$
Сократим дробь на общий множитель $2^4$:
$\frac{5^2}{5^4}$
Используя свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, получаем:
$5^{2-4} = 5^{-2}$
По определению степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, имеем:
$5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$.
Ответ: $\frac{1}{25}$.

б) Для вычисления выражения $\frac{4^3 \cdot 3^8}{6^7}$ разложим основания степеней 4 и 6 на простые множители: $4 = 2^2$ и $6 = 2 \cdot 3$.
Теперь преобразуем числитель и знаменатель:
$4^3 = (2^2)^3 = 2^{2 \cdot 3} = 2^6$
$6^7 = (2 \cdot 3)^7 = 2^7 \cdot 3^7$
Подставим полученные выражения в исходную дробь:
$\frac{2^6 \cdot 3^8}{2^7 \cdot 3^7}$
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и применим правило деления степеней:
$\frac{2^6}{2^7} \cdot \frac{3^8}{3^7} = 2^{6-7} \cdot 3^{8-7} = 2^{-1} \cdot 3^1 = \frac{1}{2} \cdot 3 = \frac{3}{2}$.
Ответ: $\frac{3}{2}$.

в) Найдем значение выражения $\frac{27^3 \cdot 25^5}{15^8}$. Для этого представим основания степеней в виде степеней простых чисел: $27 = 3^3$, $25 = 5^2$ и $15 = 3 \cdot 5$.
Подставим эти значения в выражение:
$\frac{(3^3)^3 \cdot (5^2)^5}{(3 \cdot 5)^8} = \frac{3^{3 \cdot 3} \cdot 5^{2 \cdot 5}}{3^8 \cdot 5^8} = \frac{3^9 \cdot 5^{10}}{3^8 \cdot 5^8}$
Применим свойство деления степеней с одинаковым основанием:
$3^{9-8} \cdot 5^{10-8} = 3^1 \cdot 5^2$
Вычислим результат:
$3 \cdot 25 = 75$.
Ответ: $75$.

г) Чтобы найти значение выражения $\frac{(125 \cdot 49)^3}{35^6}$, преобразуем его, используя свойства степеней. Знаменатель можно записать как $35^6 = (35^2)^3$.
Теперь всё выражение можно представить в виде степени с показателем 3:
$\frac{(125 \cdot 49)^3}{(35^2)^3} = \left(\frac{125 \cdot 49}{35^2}\right)^3$
Вычислим значение дроби в скобках. Так как $35 = 5 \cdot 7$, то $35^2 = (5 \cdot 7)^2 = 5^2 \cdot 7^2 = 25 \cdot 49$.
$\left(\frac{125 \cdot 49}{25 \cdot 49}\right)^3$
Сократим дробь на 49:
$\left(\frac{125}{25}\right)^3$
Выполним деление в скобках: $125 \div 25 = 5$.
Получаем $5^3$.
Вычислим окончательное значение:
$5^3 = 125$.
Ответ: $125$.