Номер 583, страница 173 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 6.2. Степень степени, произведения и дроби. Глава 6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 583, страница 173.

583 ИЩЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ Значение какого выражения больше:

а) $5^{20}$ или $55^{10}$;

б) $33^{15}$ или $3^{30}$;

в) $10^{30}$ или $1010^{10}$;

г) $10001^5$ или $100^{10}$?

а) Чтобы сравнить $5^{20}$ и $55^{10}$, приведем их к одному показателю степени. Общий кратный для показателей 20 и 10 - это 10. Представим $5^{20}$ в виде степени с показателем 10.

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем:

$5^{20} = 5^{2 \cdot 10} = (5^2)^{10} = 25^{10}$.

Теперь сравним $25^{10}$ и $55^{10}$. Поскольку показатели степени одинаковы, сравним их основания: $25$ и $55$.

Так как $25 < 55$, то и $25^{10} < 55^{10}$.

Следовательно, $5^{20} < 55^{10}$.

Ответ: $55^{10}$.

б) Сравним $33^{15}$ и $3^{30}$. Приведем оба выражения к общему показателю степени 15.

Преобразуем выражение $3^{30}$:

$3^{30} = 3^{2 \cdot 15} = (3^2)^{15} = 9^{15}$.

Теперь сравним $33^{15}$ и $9^{15}$. Так как показатели степени равны 15, сравним основания: $33$ и $9$.

Поскольку $33 > 9$, то $33^{15} > 9^{15}$.

Следовательно, $33^{15} > 3^{30}$.

Ответ: $33^{15}$.

в) Сравним $10^{30}$ и $1010^{10}$. Приведем выражения к общему показателю степени 10.

Преобразуем выражение $10^{30}$:

$10^{30} = 10^{3 \cdot 10} = (10^3)^{10} = 1000^{10}$.

Теперь сравним $1000^{10}$ и $1010^{10}$. Показатели степени равны 10, поэтому сравниваем основания: $1000$ и $1010$.

Так как $1000 < 1010$, то и $1000^{10} < 1010^{10}$.

Следовательно, $10^{30} < 1010^{10}$.

Ответ: $1010^{10}$.

г) Сравним $10001^5$ и $100^{10}$. Приведем выражения к общему показателю степени 5.

Преобразуем выражение $100^{10}$:

$100^{10} = 100^{2 \cdot 5} = (100^2)^5$.

Вычислим $100^2$: $100^2 = 100 \cdot 100 = 10000$.

Таким образом, $100^{10} = 10000^5$.

Теперь сравним $10001^5$ и $10000^5$. Показатели степени у выражений одинаковы, поэтому сравним их основания: $10001$ и $10000$.

Поскольку $10001 > 10000$, то $10001^5 > 10000^5$.

Следовательно, $10001^5 > 100^{10}$.

Ответ: $10001^5$.