Номер 588, страница 176 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 6.3. Решение комбинаторных задач. Глава 6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 588, страница 176.

588 a) В забеге участвуют шесть мальчиков. Сколькими способами могут распределиться два первых места?

б) Сколько существует вариантов выбора спикера и вице-спикера парламента, если всего в парламенте 101 депутат?

а) В данной задаче требуется найти количество способов, которыми могут распределиться два первых места среди шести участников. Поскольку порядок, в котором мальчики занимают первое и второе места, важен (например, Ваня первый и Петя второй — это не то же самое, что Петя первый и Ваня второй), мы имеем дело с размещениями.

Это задача на нахождение числа размещений из $n$ элементов по $k$, которое вычисляется по формуле:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

Здесь общее количество участников (мальчиков) $n = 6$, а количество призовых мест, которые нужно распределить, $k = 2$.

Подставим эти значения в формулу:

$A_6^2 = \frac{6!}{(6-2)!} = \frac{6!}{4!} = \frac{6 \times 5 \times 4!}{4!} = 6 \times 5 = 30$

Можно также рассуждать последовательно. На первое место может претендовать любой из 6 мальчиков, то есть существует 6 вариантов. После того как первое место занято, на второе место может претендовать любой из оставшихся 5 мальчиков (5 вариантов). Согласно комбинаторному правилу умножения, общее количество способов распределить два места равно произведению числа вариантов для каждого места:

$6 \times 5 = 30$

Ответ: 30 способами.

б) В этой задаче нужно выбрать двух человек из 101 на две различные должности: спикера и вице-спикера. Так как должности разные, порядок выбора имеет значение. Следовательно, это также задача на размещения.

Мы выбираем 2 человек из 101, поэтому общее число элементов $n = 101$, а количество выбираемых элементов $k = 2$.

Используем формулу для числа размещений:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

Подставим наши значения:

$A_{101}^2 = \frac{101!}{(101-2)!} = \frac{101!}{99!} = \frac{101 \times 100 \times 99!}{99!} = 101 \times 100 = 10100$

Логическое рассуждение также применимо. На должность спикера можно выбрать любого из 101 депутата (101 вариант). После этого на должность вице-спикера останется 100 кандидатов (100 вариантов). Общее число вариантов выбора равно:

$101 \times 100 = 10100$

Ответ: 10100 вариантов.