Номер 589, страница 176 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 6.3. Решение комбинаторных задач. Глава 6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 589, страница 176.

589 a) В классе десять одноместных парт. Сколькими способами можно рассадить на них трёх школьников?

б) В пассажирском поезде девять вагонов. Сколькими способами можно посадить в этот поезд четырёх пассажиров, если требуется, чтобы все они ехали в разных вагонах?

а)

В данной задаче нам нужно рассадить 3 школьников по 10 разным партам. Поскольку школьники и парты различны, и важен порядок их расположения (кто на какой парте сидит), мы имеем дело с размещениями.
Первого школьника можно посадить на любую из 10 парт, то есть существует 10 способов.
После того как первый школьник сел, остаётся 9 свободных парт. Второго школьника можно посадить на любую из этих 9 парт (9 способов).
Третьего школьника можно посадить на любую из оставшихся 8 парт (8 способов).
По правилу умножения общее число способов равно произведению числа способов для каждого школьника: $10 \times 9 \times 8 = 720$.
Это соответствует формуле для числа размещений из $n$ элементов по $k$: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$. В нашем случае $n=10$ (парты) и $k=3$ (школьники).
$A_{10}^3 = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = 10 \times 9 \times 8 = 720$.
Ответ: 720

б)

Здесь нам нужно разместить 4 пассажиров по 9 вагонам так, чтобы все они были в разных вагонах. Задача аналогична предыдущей.
Первый пассажир может выбрать любой из 9 вагонов (9 способов).
Второй пассажир должен ехать в другом вагоне, поэтому у него остаётся 8 вариантов выбора.
Третий пассажир должен выбрать вагон, отличный от первых двух, поэтому у него 7 вариантов.
Четвёртый пассажир имеет 6 вариантов для выбора вагона.
Общее количество способов, по правилу умножения, равно: $9 \times 8 \times 7 \times 6 = 3024$.
Используя формулу размещений $A_n^k$, где $n=9$ (вагоны) и $k=4$ (пассажиры), получаем:
$A_9^4 = \frac{9!}{(9-4)!} = \frac{9!}{5!} = 9 \times 8 \times 7 \times 6 = 3024$.
Ответ: 3024