Номер 585, страница 173 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 6.2. Степень степени, произведения и дроби. Глава 6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 585, страница 173.

585 РАССУЖДАЕМ При каких значениях x выполняется равенство:

a) $2^{x+4} = 64$, $2^{x} \cdot 2^{3} = 64$, $(2^{x})^{3} = 64$;

б) $10^{3x+1} = 10 000$, $10^{x} \cdot 10^{x+1} = 100 000$, $(10^{x+1})^{2} = 1 000 000$?

а)

Для уравнения $2^{x+4} = 64$:
Чтобы решить показательное уравнение, нужно привести обе его части к одному основанию. В данном случае, это основание 2. Число 64 можно представить как степень двойки: $64 = 2^6$.
Подставив это значение в уравнение, получим: $2^{x+4} = 2^6$.
Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели: $x+4 = 6$.
Решая это простое линейное уравнение, находим $x$: $x = 6 - 4$
$x = 2$.
Ответ: $x=2$.

Для уравнения $2^x \cdot 2^3 = 64$:
Воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Левая часть уравнения преобразуется в $2^{x+3}$.
Уравнение принимает вид: $2^{x+3} = 64$.
Представим 64 как $2^6$: $2^{x+3} = 2^6$.
Приравниваем показатели степеней: $x+3 = 6$.
Находим $x$: $x = 6 - 3$
$x = 3$.
Ответ: $x=3$.

Для уравнения $(2^x)^3 = 64$:
Применим свойство возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Левая часть уравнения преобразуется в $2^{x \cdot 3}$ или $2^{3x}$.
Уравнение примет вид: $2^{3x} = 64$.
Заменяем 64 на $2^6$: $2^{3x} = 2^6$.
Приравниваем показатели: $3x = 6$.
Находим $x$: $x = \frac{6}{3}$
$x = 2$.
Ответ: $x=2$.

б)

Для уравнения $10^{3x+1} = 10\,000$:
Приведем обе части к основанию 10. Число 10 000 можно записать как $10^4$.
Уравнение примет вид: $10^{3x+1} = 10^4$.
Приравниваем показатели степеней: $3x+1 = 4$.
Решаем полученное уравнение: $3x = 4 - 1$
$3x = 3$
$x = 1$.
Ответ: $x=1$.

Для уравнения $10^x \cdot 10^{x+1} = 100\,000$:
Упростим левую часть, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $10^x \cdot 10^{x+1} = 10^{x + (x+1)} = 10^{2x+1}$.
Представим правую часть в виде степени числа 10: $100\,000 = 10^5$.
Уравнение принимает вид: $10^{2x+1} = 10^5$.
Приравниваем показатели: $2x+1 = 5$.
Решаем уравнение: $2x = 5 - 1$
$2x = 4$
$x = 2$.
Ответ: $x=2$.

Для уравнения $(10^{x+1})^2 = 1\,000\,000$:
Упростим левую часть, используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $(10^{x+1})^2 = 10^{(x+1) \cdot 2} = 10^{2x+2}$.
Представим правую часть как степень 10: $1\,000\,000 = 10^6$.
Уравнение примет вид: $10^{2x+2} = 10^6$.
Приравниваем показатели: $2x+2 = 6$.
Решаем уравнение: $2x = 6 - 2$
$2x = 4$
$x = 2$.
Ответ: $x=2$.