Номер 584, страница 173 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 6.2. Степень степени, произведения и дроби. Глава 6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 584, страница 173.

584 Представьте в виде степени:

а) $4^{2k} \cdot 8^k$;

б) $6^{k-1} \cdot 2^{k+1} \cdot 3^{k+1}$;

в) $27^{k+1} \cdot 9^{k-1}$;

г) $10^k \cdot 25^k \cdot 2^{2k}$.

а) Чтобы представить выражение $4^{2k} \cdot 8^k$ в виде степени, приведем все основания к одному числу. Основания 4 и 8 являются степенями числа 2: $4 = 2^2$ и $8 = 2^3$.
Подставим эти значения в исходное выражение:
$4^{2k} \cdot 8^k = (2^2)^{2k} \cdot (2^3)^k$
Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, упростим каждый множитель:
$(2^2)^{2k} = 2^{2 \cdot 2k} = 2^{4k}$
$(2^3)^k = 2^{3k}$
Теперь выражение выглядит так: $2^{4k} \cdot 2^{3k}$.
По свойству умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, сложим показатели степеней:
$2^{4k} \cdot 2^{3k} = 2^{4k+3k} = 2^{7k}$.
Ответ: $2^{7k}$

б) В выражении $6^{k-1} \cdot 2^{k+1} \cdot 3^{k+1}$ заметим, что два последних множителя имеют одинаковый показатель степени $k+1$.
Используем свойство $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$ для множителей $2^{k+1}$ и $3^{k+1}$:
$2^{k+1} \cdot 3^{k+1} = (2 \cdot 3)^{k+1} = 6^{k+1}$
Теперь подставим это обратно в исходное выражение:
$6^{k-1} \cdot 6^{k+1}$
Теперь у нас есть произведение степеней с одинаковым основанием 6. Применим свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$6^{k-1} \cdot 6^{k+1} = 6^{(k-1) + (k+1)} = 6^{k-1+k+1} = 6^{2k}$.
Ответ: $6^{2k}$

в) Чтобы представить выражение $27^{k+1} \cdot 9^{k-1}$ в виде степени, приведем основания 27 и 9 к общему основанию 3. Мы знаем, что $27 = 3^3$ и $9 = 3^2$.
Заменим основания в выражении:
$27^{k+1} \cdot 9^{k-1} = (3^3)^{k+1} \cdot (3^2)^{k-1}$
Применим свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(3^3)^{k+1} = 3^{3(k+1)} = 3^{3k+3}$
$(3^2)^{k-1} = 3^{2(k-1)} = 3^{2k-2}$
Теперь перемножим полученные степени:
$3^{3k+3} \cdot 3^{2k-2}$
Используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, сложим показатели:
$3^{(3k+3) + (2k-2)} = 3^{3k+3+2k-2} = 3^{5k+1}$.
Ответ: $3^{5k+1}$

г) В выражении $10^k \cdot 25^k \cdot 2^{2k}$ приведем все основания к простым множителям.
$10 = 2 \cdot 5$, $25 = 5^2$.
Подставим эти разложения в выражение:
$10^k \cdot 25^k \cdot 2^{2k} = (2 \cdot 5)^k \cdot (5^2)^k \cdot 2^{2k}$
Раскроем скобки, используя свойства степени $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ и $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(2^k \cdot 5^k) \cdot 5^{2k} \cdot 2^{2k}$
Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями:
$(2^k \cdot 2^{2k}) \cdot (5^k \cdot 5^{2k})$
Применим правило умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ для каждой группы:
$2^{k+2k} \cdot 5^{k+2k} = 2^{3k} \cdot 5^{3k}$
Так как показатели степеней одинаковы, мы можем перемножить основания, используя свойство $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$:
$2^{3k} \cdot 5^{3k} = (2 \cdot 5)^{3k} = 10^{3k}$.
Ответ: $10^{3k}$