Номер 582, страница 173 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 6.2. Степень степени, произведения и дроби. Глава 6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 582, страница 173.

582 РАССУЖДАЕМ Сравните:

a) $3^{10} \cdot 5^8$ и $15^9$;

б) $6^{18}$ и $2^{20} \cdot 3^{16}$;

в) $81^{10}$ и $2^{20} \cdot 5^{20}$;

г) $49^{15}$ и $2^{30} \cdot 3^{30}$.

а) Чтобы сравнить числа $3^{10} \cdot 5^8$ и $15^9$, приведем их к удобному для сравнения виду. Представим число $15^9$ в виде произведения степеней с основаниями 3 и 5: $15^9 = (3 \cdot 5)^9 = 3^9 \cdot 5^9$. Теперь необходимо сравнить два выражения: $3^{10} \cdot 5^8$ и $3^9 \cdot 5^9$. Преобразуем первое выражение: $3^{10} \cdot 5^8 = 3 \cdot 3^9 \cdot 5^8$. Преобразуем второе выражение: $3^9 \cdot 5^9 = 3^9 \cdot 5 \cdot 5^8$. Теперь сравним $3 \cdot (3^9 \cdot 5^8)$ и $5 \cdot (3^9 \cdot 5^8)$. Так как общий множитель $3^9 \cdot 5^8$ положителен, то сравнение сводится к сравнению коэффициентов 3 и 5. Поскольку $3 < 5$, то и $3 \cdot (3^9 \cdot 5^8) < 5 \cdot (3^9 \cdot 5^8)$. Следовательно, $3^{10} \cdot 5^8 < 15^9$.
Ответ: $3^{10} \cdot 5^8 < 15^9$.

б) Чтобы сравнить числа $6^{18}$ и $2^{20} \cdot 3^{16}$, приведем их к удобному для сравнения виду, разложив на простые множители. Представим число $6^{18}$: $6^{18} = (2 \cdot 3)^{18} = 2^{18} \cdot 3^{18}$. Теперь необходимо сравнить $2^{18} \cdot 3^{18}$ и $2^{20} \cdot 3^{16}$. Преобразуем первое выражение: $2^{18} \cdot 3^{18} = 2^{18} \cdot 3^2 \cdot 3^{16} = 9 \cdot (2^{18} \cdot 3^{16})$. Преобразуем второе выражение: $2^{20} \cdot 3^{16} = 2^2 \cdot 2^{18} \cdot 3^{16} = 4 \cdot (2^{18} \cdot 3^{16})$. Сравниваем $9 \cdot (2^{18} \cdot 3^{16})$ и $4 \cdot (2^{18} \cdot 3^{16})$. Так как общий множитель $2^{18} \cdot 3^{16}$ положителен, то сравнение сводится к сравнению коэффициентов 9 и 4. Поскольку $9 > 4$, то и $9 \cdot (2^{18} \cdot 3^{16}) > 4 \cdot (2^{18} \cdot 3^{16})$. Следовательно, $6^{18} > 2^{20} \cdot 3^{16}$.
Ответ: $6^{18} > 2^{20} \cdot 3^{16}$.

в) Чтобы сравнить числа $81^{10}$ и $2^{20} \cdot 5^{20}$, приведем их к степеням с одинаковыми показателями. Преобразуем первое число. Так как $81 = 3^4$, то: $81^{10} = (3^4)^{10} = 3^{4 \cdot 10} = 3^{40}$. Преобразуем второе число, используя свойство $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$: $2^{20} \cdot 5^{20} = (2 \cdot 5)^{20} = 10^{20}$. Теперь сравним $3^{40}$ и $10^{20}$. Приведем первое число к степени с показателем 20: $3^{40} = 3^{2 \cdot 20} = (3^2)^{20} = 9^{20}$. Теперь сравниваем $9^{20}$ и $10^{20}$. Так как у степеней одинаковые положительные показатели, сравниваем их основания. Поскольку $9 < 10$, то $9^{20} < 10^{20}$. Следовательно, $81^{10} < 2^{20} \cdot 5^{20}$.
Ответ: $81^{10} < 2^{20} \cdot 5^{20}$.

г) Чтобы сравнить числа $49^{15}$ и $2^{30} \cdot 3^{30}$, приведем их к степеням с одинаковыми показателями. Преобразуем первое число. Так как $49 = 7^2$, то: $49^{15} = (7^2)^{15} = 7^{2 \cdot 15} = 7^{30}$. Преобразуем второе число, используя свойство $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$: $2^{30} \cdot 3^{30} = (2 \cdot 3)^{30} = 6^{30}$. Теперь сравниваем $7^{30}$ и $6^{30}$. Так как у степеней одинаковые положительные показатели, сравниваем их основания. Поскольку $7 > 6$, то $7^{30} > 6^{30}$. Следовательно, $49^{15} > 2^{30} \cdot 3^{30}$.
Ответ: $49^{15} > 2^{30} \cdot 3^{30}$.