Номер 586, страница 173 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 6.2. Степень степени, произведения и дроби. Глава 6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 586, страница 173.

586 ИССЛЕДУЕМ Имеются кубики с ребром, равным 3 единицам, 4 единицам, 5 единицам и т. д. Каждый кубик покрасили и разрезали на единичные кубики. Заполните таблицу, ответив для каждого случая на вопросы:

1) Сколько получилось единичных кубиков?

2) Сколько кубиков, у которых покрашено три грани?

3) Сколько кубиков, у которых покрашено две грани?

4) Сколько кубиков, у которых покрашена одна грань?

5) Сколько получилось непокрашенных кубиков?

Длина стороны, ед.	Число единичных кубиков	Число кубиков, у которых
		покрашено 3 грани	покрашено 2 грани	покрашена 1 грань	нет покрашенных граней
3
4
5
6
...
$n$

Для решения этой задачи мы выведем общие формулы для куба с длиной ребра n единиц, а затем, используя эти формулы, заполним таблицу.

Представим большой куб с ребром длиной n, который был покрашен снаружи, а затем разрезан на маленькие единичные кубики (с ребром 1).

1) Сколько получилось единичных кубиков?

Чтобы найти общее количество единичных кубиков, из которых состоит большой куб, нужно вычислить его объем. Если длина ребра куба равна $n$ единиц, то его объем равен произведению длины, ширины и высоты, то есть $n \times n \times n$.

Ответ: $n^3$

2) Сколько кубиков, у которых покрашено три грани?

Три грани могут быть покрашены только у тех кубиков, которые находятся в вершинах (углах) большого куба. У любого куба 8 вершин. Следовательно, количество таких кубиков не зависит от размера куба (при $n \ge 2$) и всегда равно 8.

Ответ: 8

3) Сколько кубиков, у которых покрашено две грани?

Две грани покрашены у кубиков, которые расположены на ребрах большого куба, но не являются угловыми. У куба 12 ребер. На каждом ребре лежит $n$ кубиков. Из них 2 кубика — угловые (у них покрашено 3 грани). Значит, на каждом ребре остается $n-2$ кубика с двумя покрашенными гранями. Поскольку ребер 12, общее число таких кубиков равно $12 \times (n-2)$.

Ответ: $12(n-2)$

4) Сколько кубиков, у которых покрашена одна грань?

Одна грань покрашена у кубиков, которые находятся на гранях (сторонах) большого куба, но не на его ребрах. У куба 6 граней. Каждая грань представляет собой квадрат со стороной $n$. Кубики, имеющие одну покрашенную грань, образуют на каждой грани внутренний квадрат со стороной $n-2$ (мы мысленно убираем по одному ряду кубиков с каждой из четырех сторон грани). Количество кубиков в таком внутреннем квадрате — $(n-2) \times (n-2) = (n-2)^2$. Так как у куба 6 граней, общее число таких кубиков равно $6 \times (n-2)^2$.

Ответ: $6(n-2)^2$

5) Сколько получилось непокрашенных кубиков?

Непокрашенные кубики находятся полностью внутри большого куба и не соприкасаются ни с одной из его внешних граней. Они образуют внутренний, "невидимый" куб. Если у большого куба ребро равно $n$, то после удаления внешнего слоя толщиной в один кубик со всех сторон, ребро внутреннего куба станет равно $n-2$. Объем этого внутреннего куба, а следовательно, и количество непокрашенных кубиков, равно $(n-2) \times (n-2) \times (n-2) = (n-2)^3$.

Ответ: $(n-2)^3$

Теперь заполним таблицу, подставляя значения $n=3, 4, 5, 6$ в полученные формулы.

Длина стороны, ед.	Число единичных кубиков	Число кубиков, у которых
		покрашено 3 грани	покрашено 2 грани	покрашена 1 грань	нет покрашенных граней
3	$3^3=27$	8	$12(3-2)=12$	$6(3-2)^2=6$	$(3-2)^3=1$
4	$4^3=64$	8	$12(4-2)=24$	$6(4-2)^2=24$	$(4-2)^3=8$
5	$5^3=125$	8	$12(5-2)=36$	$6(5-2)^2=54$	$(5-2)^3=27$
6	$6^3=216$	8	$12(6-2)=48$	$6(6-2)^2=96$	$(6-2)^3=64$
...	...	...	...	...	...
n	$n^3$	8	$12(n-2)$	$6(n-2)^2$	$(n-2)^3$