Страница 171 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

560 Упростите выражение:

а) $a(a^2)^3;$

б) $(y^3)^4y^4;$

в) $c^2c^5(c^2)^5;$

г) $(x^4x)^5;$

д) $(k^{10}k^2)^3;$

е) $\frac{(a^2)^{10}}{a^{15}};$

ж) $(\frac{x^7}{x^2})^5;$

з) $\frac{y^{10}}{(y^2)^4}.$

а) Для упрощения выражения $a(a^2)^3$ воспользуемся свойствами степеней.

Сначала возведем степень в степень, используя правило $(x^m)^n = x^{mn}$:

$(a^2)^3 = a^{2 \cdot 3} = a^6$.

Теперь исходное выражение принимает вид $a \cdot a^6$.

Далее применим правило умножения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$. Учитывая, что $a = a^1$:

$a^1 \cdot a^6 = a^{1+6} = a^7$.

Ответ: $a^7$.

б) Рассмотрим выражение $(y^3)^4 y^4$.

Применим правило возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{mn}$ к первому множителю:

$(y^3)^4 = y^{3 \cdot 4} = y^{12}$.

Теперь выражение выглядит так: $y^{12} \cdot y^4$.

Используем правило умножения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:

$y^{12} \cdot y^4 = y^{12+4} = y^{16}$.

Ответ: $y^{16}$.

в) Упростим выражение $c^2 c^5 (c^2)^5$.

Сначала упростим множитель в скобках, используя правило $(x^m)^n = x^{mn}$:

$(c^2)^5 = c^{2 \cdot 5} = c^{10}$.

Теперь подставим это в исходное выражение: $c^2 \cdot c^5 \cdot c^{10}$.

Применим правило умножения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n \cdot x^p = x^{m+n+p}$:

$c^{2+5+10} = c^{17}$.

Ответ: $c^{17}$.

г) Упростим выражение $(x^4 x)^5$.

Сначала выполним действие в скобках, используя правило умножения степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$ и учитывая, что $x=x^1$:

$x^4 \cdot x = x^4 \cdot x^1 = x^{4+1} = x^5$.

Теперь выражение принимает вид $(x^5)^5$.

Далее применим правило возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{mn}$:

$(x^5)^5 = x^{5 \cdot 5} = x^{25}$.

Ответ: $x^{25}$.

д) Рассмотрим выражение $(k^{10} k^2)^3$.

Сначала упростим выражение в скобках, используя свойство умножения степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:

$k^{10} \cdot k^2 = k^{10+2} = k^{12}$.

Теперь выражение выглядит так: $(k^{12})^3$.

Применим свойство возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{mn}$:

$(k^{12})^3 = k^{12 \cdot 3} = k^{36}$.

Ответ: $k^{36}$.

е) Упростим выражение $\frac{(a^2)^{10}}{a^{15}}$.

Сначала преобразуем числитель, используя правило возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{mn}$:

$(a^2)^{10} = a^{2 \cdot 10} = a^{20}$.

Теперь выражение имеет вид $\frac{a^{20}}{a^{15}}$.

Применим правило деления степеней с одинаковым основанием $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:

$\frac{a^{20}}{a^{15}} = a^{20-15} = a^5$.

Ответ: $a^5$.

ж) Упростим выражение $(\frac{x^7}{x^2})^5$.

Сначала упростим выражение в скобках, используя правило деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{x^7}{x^2} = x^{7-2} = x^5$.

Теперь выражение принимает вид $(x^5)^5$.

Применим правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$:

$(x^5)^5 = x^{5 \cdot 5} = x^{25}$.

Ответ: $x^{25}$.

з) Упростим выражение $\frac{y^{10}}{(y^2)^4}$.

Сначала преобразуем знаменатель, используя правило возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{mn}$:

$(y^2)^4 = y^{2 \cdot 4} = y^8$.

Теперь выражение принимает вид $\frac{y^{10}}{y^8}$.

Применим правило деления степеней с одинаковым основанием $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:

$\frac{y^{10}}{y^8} = y^{10-8} = y^2$.

Ответ: $y^2$.

561 Представьте $a^{30}$ в виде степени с основанием:

а) $a^2$;

б) $a^3$;

в) $a^5$;

г) $a^{10}$.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Нам нужно найти такой показатель степени $n$ для каждого заданного основания, чтобы произведение показателей было равно 30.

562 ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ Представьте в виде степени с основанием 2 и, если возможно, с основанием –2:

а) $8^2$;

б) $16^3$;

в) $32^3$;

г) $8^{11}$.

а) $8^2$

Чтобы представить выражение $8^2$ в виде степени с основанием 2, сначала представим число 8 как степень двойки: $8 = 2^3$.
Теперь подставим это в исходное выражение: $8^2 = (2^3)^2$.
Используя свойство возведения степени в степень $((a^m)^n = a^{m \cdot n})$, получим: $(2^3)^2 = 2^{3 \cdot 2} = 2^6$.

Далее, проверим, можно ли представить результат в виде степени с основанием -2. Мы получили $2^6$. Так как показатель степени 6 является четным числом, то $2^6 = (-2)^6$. Это верно, потому что при возведении отрицательного числа в четную степень результат всегда положителен.

Ответ: $8^2 = 2^6 = (-2)^6$.

б) $16^3$

Представим основание 16 как степень числа 2: $16 = 2^4$.
Тогда выражение $16^3$ можно записать как $(2^4)^3$.
По свойству степени $((a^m)^n = a^{m \cdot n})$: $(2^4)^3 = 2^{4 \cdot 3} = 2^{12}$.

Проверим возможность представления с основанием -2. Мы получили $2^{12}$. Показатель степени 12 — четное число, поэтому $2^{12} = (-2)^{12}$.

Ответ: $16^3 = 2^{12} = (-2)^{12}$.

в) $32^3$

Представим основание 32 как степень числа 2: $32 = 2^5$.
Тогда выражение $32^3$ можно записать как $(2^5)^3$.
По свойству степени $((a^m)^n = a^{m \cdot n})$: $(2^5)^3 = 2^{5 \cdot 3} = 2^{15}$.

Теперь рассмотрим основание -2. Мы получили $2^{15}$. Показатель степени 15 — нечетное число. При возведении отрицательного числа в нечетную степень результат будет отрицательным: $(-2)^{15} = -2^{15}$.
Поскольку $32^3$ — положительное число, а $(-2)^{15}$ — отрицательное, представить $32^3$ в виде степени с основанием -2 невозможно.

Ответ: $32^3 = 2^{15}$; представить в виде степени с основанием -2 невозможно.

г) $8^{11}$

Представим основание 8 как степень числа 2: $8 = 2^3$.
Тогда выражение $8^{11}$ можно записать как $(2^3)^{11}$.
По свойству степени $((a^m)^n = a^{m \cdot n})$: $(2^3)^{11} = 2^{3 \cdot 11} = 2^{33}$.

Рассмотрим основание -2. Мы получили $2^{33}$. Показатель степени 33 — нечетное число. Это означает, что $(-2)^{33} = -2^{33}$.
Так как $8^{11}$ является положительным числом, а $(-2)^{33}$ — отрицательным, представить $8^{11}$ в виде степени с основанием -2 невозможно.

Ответ: $8^{11} = 2^{33}$; представить в виде степени с основанием -2 невозможно.

563 Выполните действия:

а) $(x^n)^m$, $(x^n)^n$, $x^n x^n$;

б) $x^2 (x^3)^4$, $x^n (x^3)^n$, $(x^n x^3)^3$.

а)

Для выражения $(x^n)^m$ применяется свойство возведения степени в степень $(a^p)^q = a^{pq}$.
$(x^n)^m = x^{n \cdot m} = x^{nm}$.
Ответ: $x^{nm}$.

Для выражения $(x^n)^n$ применяется то же свойство возведения степени в степень.
$(x^n)^n = x^{n \cdot n} = x^{n^2}$.
Ответ: $x^{n^2}$.

Для выражения $x^n x^n$ применяется свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^p a^q = a^{p+q}$.
$x^n x^n = x^{n+n} = x^{2n}$.
Ответ: $x^{2n}$.

б)

В выражении $x^2(x^3)^4$ сначала необходимо упростить степень в скобках, а затем выполнить умножение.
1. Возводим степень в степень: $(x^3)^4 = x^{3 \cdot 4} = x^{12}$.
2. Умножаем степени с одинаковым основанием: $x^2 \cdot x^{12} = x^{2+12} = x^{14}$.
Ответ: $x^{14}$.

В выражении $x^n(x^3)^n$ выполняем действия в том же порядке.
1. Возводим степень в степень: $(x^3)^n = x^{3 \cdot n} = x^{3n}$.
2. Умножаем степени с одинаковым основанием: $x^n \cdot x^{3n} = x^{n+3n} = x^{4n}$.
Ответ: $x^{4n}$.

В выражении $(x^n x^3)^3$ сначала выполняем умножение в скобках, а затем возводим в степень.
1. Умножаем степени в скобках: $x^n \cdot x^3 = x^{n+3}$.
2. Возводим полученное выражение в степень: $(x^{n+3})^3 = x^{(n+3) \cdot 3} = x^{3n+9}$.
Ответ: $x^{3n+9}$.

564 РАССУЖДАЕМ При каком значении $k$ верно равенство:

а) $y^k \cdot y^2 = y^{12}$, $(y^k)^2 = y^{12}$;

б) $(a^5)^k = a^{20}$, $a^5 \cdot a^k = a^{20}$?

а)

Рассмотрим равенство $y^k \cdot y^2 = y^{12}$.

Для решения воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием: при умножении степеней их показатели складываются. Формула: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.

Применив это правило к левой части равенства, мы получаем: $y^{k+2} = y^{12}$.

Поскольку основания степеней в обеих частях равенства одинаковы (равны $y$), для того чтобы равенство было верным, их показатели также должны быть равны:

$k + 2 = 12$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $k$:

$k = 12 - 2$

$k = 10$

Ответ: $k=10$.

Рассмотрим равенство $(y^k)^2 = y^{12}$.

Для решения воспользуемся свойством возведения степени в степень: при возведении степени в степень показатели перемножаются. Формула: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.

Применив это правило к левой части, получаем: $y^{k \cdot 2} = y^{12}$, что то же самое, что и $y^{2k} = y^{12}$.

Приравниваем показатели степеней, так как основания равны:

$2k = 12$

Решаем уравнение:

$k = \frac{12}{2}$

$k = 6$

Ответ: $k=6$.

б)

Рассмотрим равенство $(a^5)^k = a^{20}$.

Используем свойство возведения степени в степень: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.

Применяем это свойство к левой части: $a^{5 \cdot k} = a^{20}$, или $a^{5k} = a^{20}$.

Так как основания равны, приравниваем показатели:

$5k = 20$

Находим $k$:

$k = \frac{20}{5}$

$k = 4$

Ответ: $k=4$.

Рассмотрим равенство $a^5 \cdot a^k = a^{20}$.

Используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.

Применяем это свойство к левой части: $a^{5+k} = a^{20}$.

Приравниваем показатели, так как основания равны:

$5 + k = 20$

Находим $k$:

$k = 20 - 5$

$k = 15$

Ответ: $k=15$.

565 ДЕЙСТВУЕМ ПО ПРАВИЛУ

Возведите в степень:

а) $(xy)^4$;

б) $(5n)^2$;

в) $(-10a)^3$;

г) $(3ax)^3$;

д) $(-cd)^2$;

е) $(-xyz)^3$;

ж) $(-2ac)^4$;

з) $(\frac{1}{5}xyz)^3$.

а) Чтобы возвести произведение в степень, необходимо каждый множитель возвести в эту степень. Это следует из свойства степени $(ab)^n = a^n b^n$.

$(xy)^4 = x^4 \cdot y^4 = x^4y^4$

Ответ: $x^4y^4$

б) Применяем то же правило, что и в пункте а). Возводим в квадрат каждый множитель в скобках: число 5 и переменную n.

$(5n)^2 = 5^2 \cdot n^2 = 25n^2$

Ответ: $25n^2$

в) Возводим в куб каждый множитель. При возведении отрицательного числа в нечетную степень (в данном случае 3), результат будет отрицательным.

$(-10a)^3 = (-10)^3 \cdot a^3 = (-10 \cdot -10 \cdot -10) \cdot a^3 = -1000a^3$

Ответ: $-1000a^3$

г) Возводим в куб каждый из трех множителей: 3, a и x.

$(3ax)^3 = 3^3 \cdot a^3 \cdot x^3 = (3 \cdot 3 \cdot 3) \cdot a^3 \cdot x^3 = 27a^3x^3$

Ответ: $27a^3x^3$

д) Возводим в квадрат произведение $(-cd)$. Так как степень четная (2), то отрицательный знак пропадает. Это связано с тем, что $(-1)^2 = 1$.

$(-cd)^2 = (-1 \cdot c \cdot d)^2 = (-1)^2 \cdot c^2 \cdot d^2 = 1 \cdot c^2d^2 = c^2d^2$

Ответ: $c^2d^2$

е) Возводим в куб произведение $(-xyz)$. Так как степень нечетная (3), отрицательный знак сохраняется.

$(-xyz)^3 = (-1 \cdot x \cdot y \cdot z)^3 = (-1)^3 \cdot x^3 \cdot y^3 \cdot z^3 = -1 \cdot x^3y^3z^3 = -x^3y^3z^3$

Ответ: $-x^3y^3z^3$

ж) Возводим в четвертую степень произведение $(-2ac)$. Степень четная (4), поэтому отрицательный знак пропадает.

$(-2ac)^4 = (-2)^4 \cdot a^4 \cdot c^4 = ((-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)) \cdot a^4 \cdot c^4 = 16a^4c^4$

Ответ: $16a^4c^4$

з) Возводим в куб каждый множитель, включая дробный коэффициент. Используем свойство степени дроби $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$.

$(\frac{1}{5}xyz)^3 = (\frac{1}{5})^3 \cdot x^3 \cdot y^3 \cdot z^3 = \frac{1^3}{5^3} \cdot x^3y^3z^3 = \frac{1}{125}x^3y^3z^3$

Ответ: $\frac{1}{125}x^3y^3z^3$

566 ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ Вычислите:

а) $5^4 \cdot 2^4$;

б) $25^3 \cdot 4^3$;

в) $0,2^8 \cdot 5^8$;

г) $\left(\frac{2}{3}\right)^4 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^4$.

а) Для вычисления выражения $5^4 \cdot 2^4$ воспользуемся свойством степени произведения: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$. В данном случае основания степеней равны $5$ и $2$, а показатель степени одинаков и равен $4$.

Применим свойство:

$5^4 \cdot 2^4 = (5 \cdot 2)^4 = 10^4$

Теперь вычислим значение $10^4$:

$10^4 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10000$

Ответ: $10000$.

б) Для вычисления выражения $25^3 \cdot 4^3$ также используем свойство степени произведения $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$, так как показатели степеней одинаковы и равны $3$.

Применим свойство:

$25^3 \cdot 4^3 = (25 \cdot 4)^3 = 100^3$

Вычислим значение $100^3$:

$100^3 = 100 \cdot 100 \cdot 100 = 1000000$

Ответ: $1000000$.

в) Выражение $0,2^8 \cdot 5^8$ имеет одинаковый показатель степени $8$. Применим то же свойство $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.

Применим свойство:

$0,2^8 \cdot 5^8 = (0,2 \cdot 5)^8 = 1^8$

Любая степень числа $1$ равна $1$.

$1^8 = 1$

Ответ: $1$.

г) Для вычисления выражения $(\frac{2}{3})^4 \cdot (\frac{3}{2})^4$ используем свойство степени произведения $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$. Показатели степеней равны $4$.

Применим свойство:

$(\frac{2}{3})^4 \cdot (\frac{3}{2})^4 = (\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2})^4$

Вычислим произведение в скобках. Дроби $\frac{2}{3}$ и $\frac{3}{2}$ являются взаимно обратными, их произведение равно $1$.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 2} = \frac{6}{6} = 1$

Тогда выражение становится равным $1^4$.

$1^4 = 1$

Ответ: $1$.

567 РАССУЖДАЕМ Какое выражение должно быть записано в скобках:

а) $(...)^3 = 8x^3;$

б) $(...)^2 = 81a^2;$

в) $(...)^3 = -27y^3;$

г) $(...)^4 = 16c^4;$

д) $0,25a^6 = (...)^2;$

е) $-{1 \over 8}b^6 = (...)^3?$

а) Для того чтобы найти выражение в скобках в уравнении $(...)^3 = 8x^3$, нам необходимо найти кубический корень из выражения $8x^3$. Используя свойство корня из произведения, получаем: $\sqrt[3]{8x^3} = \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{x^3}$. Кубический корень из $8$ равен $2$, так как $2^3 = 8$. Кубический корень из $x^3$ равен $x$. Следовательно, искомое выражение — это $2x$.
Ответ: $2x$

б) В уравнении $(...)^2 = 81a^2$ искомое выражение является квадратным корнем из $81a^2$. Извлекаем корень из каждого множителя: $\sqrt{81a^2} = \sqrt{81} \cdot \sqrt{a^2}$. Квадратный корень из $81$ равен $9$, так как $9^2 = 81$. Квадратный корень из $a^2$ равен $a$. Таким образом, выражение в скобках — это $9a$.
Ответ: $9a$

в) Чтобы решить уравнение $(...)^3 = -27y^3$, нужно найти кубический корень из $-27y^3$. Корень нечетной степени из отрицательного числа является отрицательным числом. $\sqrt[3]{-27y^3} = \sqrt[3]{-27} \cdot \sqrt[3]{y^3}$. Кубический корень из $-27$ равен $-3$, так как $(-3)^3 = -27$. Кубический корень из $y^3$ равен $y$. Значит, искомое выражение — это $-3y$.
Ответ: $-3y$

г) В уравнении $(...)^4 = 16c^4$ требуется найти корень четвертой степени из $16c^4$. Вычисляем корень из числового коэффициента и переменной: $\sqrt[4]{16c^4} = \sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[4]{c^4}$. Корень четвертой степени из $16$ равен $2$, так как $2^4 = 16$. Корень четвертой степени из $c^4$ равен $c$. Таким образом, искомое выражение — это $2c$.
Ответ: $2c$

д) В данном случае $0,25a^6 = (...)^2$, нам нужно найти квадратный корень из $0,25a^6$. $\sqrt{0,25a^6} = \sqrt{0,25} \cdot \sqrt{a^6}$. Квадратный корень из $0,25$ равен $0,5$, поскольку $0,5^2 = 0,25$. Для степенного выражения используем свойство извлечения корня: $\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$, поэтому $\sqrt{a^6} = a^{6/2} = a^3$. Итоговое выражение — $0,5a^3$.
Ответ: $0,5a^3$

е) Для уравнения $-\frac{1}{8}b^6 = (...)^3$ необходимо найти кубический корень из левой части. $\sqrt[3]{-\frac{1}{8}b^6} = \sqrt[3]{-\frac{1}{8}} \cdot \sqrt[3]{b^6}$. Кубический корень из $-\frac{1}{8}$ равен $-\frac{1}{2}$, так как $(-\frac{1}{2})^3 = -\frac{1}{8}$. Корень из $b^6$ равен $b^{6/3} = b^2$. Следовательно, выражение в скобках равно $-\frac{1}{2}b^2$.
Ответ: $-\frac{1}{2}b^2$

568 Выполните действие:

а) $(ab^2)^3$;

б) $(-x^2y)^4$;

в) $(2m^3)^2$;

г) $(4x^5)^2$;

д) $(-10a^3)^3$;

е) $(-6c^3)^2$;

ж) $(-2a^2x)^5$;

з) $(3ac^4)^4$.

а) Чтобы возвести одночлен в степень, необходимо возвести в эту степень каждый его множитель. При возведении степени в степень их показатели перемножаются. Используем свойства степеней: $(xy)^n = x^n y^n$ и $(x^m)^n = x^{mn}$.
$(ab^2)^3 = a^3 \cdot (b^2)^3 = a^3 \cdot b^{2 \cdot 3} = a^3b^6$.
Ответ: $a^3b^6$

б) Возводим в четвертую степень каждый множитель одночлена: $-1$, $x^2$ и $y$. Так как показатель степени четный (4), то отрицательное основание $(-1)$ в результате даст положительное число.
$(-x^2y)^4 = (-1)^4 \cdot (x^2)^4 \cdot y^4 = 1 \cdot x^{2 \cdot 4} \cdot y^4 = x^8y^4$.
Ответ: $x^8y^4$

в) Возводим в квадрат коэффициент 2 и множитель $m^3$, используя те же правила.
$(2m^3)^2 = 2^2 \cdot (m^3)^2 = 4 \cdot m^{3 \cdot 2} = 4m^6$.
Ответ: $4m^6$

г) Возводим в квадрат коэффициент 4 и множитель $x^5$.
$(4x^5)^2 = 4^2 \cdot (x^5)^2 = 16 \cdot x^{5 \cdot 2} = 16x^{10}$.
Ответ: $16x^{10}$

д) Возводим в куб каждый множитель: $-10$ и $a^3$. Так как показатель степени нечетный (3), то отрицательный коэффициент $(-10)$ останется отрицательным.
$(-10a^3)^3 = (-10)^3 \cdot (a^3)^3 = -1000 \cdot a^{3 \cdot 3} = -1000a^9$.
Ответ: $-1000a^9$

е) Возводим в квадрат каждый множитель: $-6$ и $c^3$. Так как показатель степени четный (2), отрицательный коэффициент $(-6)$ станет положительным.
$(-6c^3)^2 = (-6)^2 \cdot (c^3)^2 = 36 \cdot c^{3 \cdot 2} = 36c^6$.
Ответ: $36c^6$

ж) Возводим в пятую степень каждый множитель: $-2$, $a^2$ и $x$. Так как показатель степени нечетный (5), отрицательный коэффициент $(-2)$ останется отрицательным.
$(-2a^2x)^5 = (-2)^5 \cdot (a^2)^5 \cdot x^5 = -32 \cdot a^{2 \cdot 5} \cdot x^5 = -32a^{10}x^5$.
Ответ: $-32a^{10}x^5$

з) Возводим в четвертую степень каждый множитель одночлена: 3, $a$ и $c^4$.
$(3ac^4)^4 = 3^4 \cdot a^4 \cdot (c^4)^4 = 81 \cdot a^4 \cdot c^{4 \cdot 4} = 81a^4c^{16}$.
Ответ: $81a^4c^{16}$

569 Возведите в квадрат и в куб выражение:

а) $5c^5$;

б) $-0.1y^4$;

в) $-ab^2$;

г) $\frac{1}{3}a^3b$.

а) Для того чтобы возвести одночлен в степень, необходимо возвести в эту степень каждый множитель, входящий в одночлен. При возведении степени в степень их показатели перемножаются.

Возведение в квадрат:

$(5c^5)^2 = 5^2 \cdot (c^5)^2 = 25 \cdot c^{5 \cdot 2} = 25c^{10}$

Возведение в куб:

$(5c^5)^3 = 5^3 \cdot (c^5)^3 = 125 \cdot c^{5 \cdot 3} = 125c^{15}$

Ответ: $25c^{10}$ и $125c^{15}$.

б) Возводим в квадрат выражение $-0,1y^4$. При возведении отрицательного числа в четную степень (2) результат будет положительным.

$(-0,1y^4)^2 = (-0,1)^2 \cdot (y^4)^2 = 0,01 \cdot y^{4 \cdot 2} = 0,01y^8$

Возводим в куб выражение $-0,1y^4$. При возведении отрицательного числа в нечетную степень (3) результат будет отрицательным.

$(-0,1y^4)^3 = (-0,1)^3 \cdot (y^4)^3 = -0,001 \cdot y^{4 \cdot 3} = -0,001y^{12}$

Ответ: $0,01y^8$ и $-0,001y^{12}$.

в) Возводим в квадрат выражение $-ab^2$. Так как степень четная (2), знак минус уходит.

$(-ab^2)^2 = (-1)^2 \cdot a^2 \cdot (b^2)^2 = 1 \cdot a^2 \cdot b^{2 \cdot 2} = a^2b^4$

Возводим в куб выражение $-ab^2$. Так как степень нечетная (3), знак минус сохраняется.

$(-ab^2)^3 = (-1)^3 \cdot a^3 \cdot (b^2)^3 = -1 \cdot a^3 \cdot b^{2 \cdot 3} = -a^3b^6$

Ответ: $a^2b^4$ и $-a^3b^6$.

г) Возводим в квадрат выражение $\frac{1}{3}a^3b$.

$(\frac{1}{3}a^3b)^2 = (\frac{1}{3})^2 \cdot (a^3)^2 \cdot b^2 = \frac{1}{9} \cdot a^{3 \cdot 2} \cdot b^2 = \frac{1}{9}a^6b^2$

Возводим в куб выражение $\frac{1}{3}a^3b$.

$(\frac{1}{3}a^3b)^3 = (\frac{1}{3})^3 \cdot (a^3)^3 \cdot b^3 = \frac{1}{27} \cdot a^{3 \cdot 3} \cdot b^3 = \frac{1}{27}a^9b^3$

Ответ: $\frac{1}{9}a^6b^2$ и $\frac{1}{27}a^9b^3$.

570 Выполните возведение в степень:

а) $(((x^2)^3)^2)$;

б) $((-(-x)^2)^3)$;

в) $((-(-x)^3)^2)$;

г) $-(((-x)^3)^2)$.

а) Чтобы возвести степень в степень, нужно основание оставить тем же, а показатели перемножить. Это правило можно записать в виде формулы: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

Применим это правило последовательно:

$((x^2)^3)^2 = (x^{2 \cdot 3})^2 = (x^6)^2 = x^{6 \cdot 2} = x^{12}$.

Также можно перемножить все показатели степеней сразу: $x^{2 \cdot 3 \cdot 2} = x^{12}$.

Ответ: $x^{12}$.

б) Сначала выполним возведение в степень внутри скобок. Выражение $(-x)$ возводится в четную степень 2, поэтому знак минус исчезает:

$(-x)^2 = x^2$.

Теперь исходное выражение принимает вид:

$(x^2)^3$.

Далее, по свойству возведения степени в степень, перемножаем показатели:

$(x^2)^3 = x^{2 \cdot 3} = x^6$.

Ответ: $x^6$.

в) Выполняем действия по порядку, начиная с самых внутренних скобок.

1. Возводим $(-x)$ в нечетную степень 3. Знак минус сохраняется:

$(-x)^3 = -x^3$.

2. Подставляем результат в исходное выражение:

$(-(-x^3))^2$.

3. Раскрываем внутренние скобки. Минус на минус дает плюс:

$-(-x^3) = x^3$.

4. Выражение упрощается до $(x^3)^2$. Возводим в степень:

$(x^3)^2 = x^{3 \cdot 2} = x^6$.

Ответ: $x^6$.

г) В данном выражении знак минус стоит перед всеми скобками, поэтому он будет применен в последнюю очередь.

1. Начнем с выражения в скобках: $((-x)^3)^2$.

2. Возводим $(-x)$ в нечетную степень 3:

$(-x)^3 = -x^3$.

3. Выражение в скобках теперь выглядит так: $(-x^3)^2$.

4. Возводим $(-x^3)$ в четную степень 2. Знак минус исчезает, а показатели степеней перемножаются:

$(-x^3)^2 = x^{3 \cdot 2} = x^6$.

5. Теперь вернемся к исходному выражению и подставим полученный результат, учитывая знак минус в самом начале:

$-(((-x)^3)^2) = -(x^6) = -x^6$.

Ответ: $-x^6$.