Номер 564, страница 171 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 6.2. Степень степени, произведения и дроби. Глава 6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 564, страница 171.

564 РАССУЖДАЕМ При каком значении $k$ верно равенство:

а) $y^k \cdot y^2 = y^{12}$, $(y^k)^2 = y^{12}$;

б) $(a^5)^k = a^{20}$, $a^5 \cdot a^k = a^{20}$?

а)

Рассмотрим равенство $y^k \cdot y^2 = y^{12}$.

Для решения воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием: при умножении степеней их показатели складываются. Формула: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.

Применив это правило к левой части равенства, мы получаем: $y^{k+2} = y^{12}$.

Поскольку основания степеней в обеих частях равенства одинаковы (равны $y$), для того чтобы равенство было верным, их показатели также должны быть равны:

$k + 2 = 12$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $k$:

$k = 12 - 2$

$k = 10$

Ответ: $k=10$.

Рассмотрим равенство $(y^k)^2 = y^{12}$.

Для решения воспользуемся свойством возведения степени в степень: при возведении степени в степень показатели перемножаются. Формула: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.

Применив это правило к левой части, получаем: $y^{k \cdot 2} = y^{12}$, что то же самое, что и $y^{2k} = y^{12}$.

Приравниваем показатели степеней, так как основания равны:

$2k = 12$

Решаем уравнение:

$k = \frac{12}{2}$

$k = 6$

Ответ: $k=6$.

б)

Рассмотрим равенство $(a^5)^k = a^{20}$.

Используем свойство возведения степени в степень: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.

Применяем это свойство к левой части: $a^{5 \cdot k} = a^{20}$, или $a^{5k} = a^{20}$.

Так как основания равны, приравниваем показатели:

$5k = 20$

Находим $k$:

$k = \frac{20}{5}$

$k = 4$

Ответ: $k=4$.

Рассмотрим равенство $a^5 \cdot a^k = a^{20}$.

Используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.

Применяем это свойство к левой части: $a^{5+k} = a^{20}$.

Приравниваем показатели, так как основания равны:

$5 + k = 20$

Находим $k$:

$k = 20 - 5$

$k = 15$

Ответ: $k=15$.