Номер 562, страница 171 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 6.2. Степень степени, произведения и дроби. Глава 6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 562, страница 171.

562 ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ Представьте в виде степени с основанием 2 и, если возможно, с основанием –2:

а) $8^2$;

б) $16^3$;

в) $32^3$;

г) $8^{11}$.

а) $8^2$

Чтобы представить выражение $8^2$ в виде степени с основанием 2, сначала представим число 8 как степень двойки: $8 = 2^3$.
Теперь подставим это в исходное выражение: $8^2 = (2^3)^2$.
Используя свойство возведения степени в степень $((a^m)^n = a^{m \cdot n})$, получим: $(2^3)^2 = 2^{3 \cdot 2} = 2^6$.

Далее, проверим, можно ли представить результат в виде степени с основанием -2. Мы получили $2^6$. Так как показатель степени 6 является четным числом, то $2^6 = (-2)^6$. Это верно, потому что при возведении отрицательного числа в четную степень результат всегда положителен.

Ответ: $8^2 = 2^6 = (-2)^6$.

б) $16^3$

Представим основание 16 как степень числа 2: $16 = 2^4$.
Тогда выражение $16^3$ можно записать как $(2^4)^3$.
По свойству степени $((a^m)^n = a^{m \cdot n})$: $(2^4)^3 = 2^{4 \cdot 3} = 2^{12}$.

Проверим возможность представления с основанием -2. Мы получили $2^{12}$. Показатель степени 12 — четное число, поэтому $2^{12} = (-2)^{12}$.

Ответ: $16^3 = 2^{12} = (-2)^{12}$.

в) $32^3$

Представим основание 32 как степень числа 2: $32 = 2^5$.
Тогда выражение $32^3$ можно записать как $(2^5)^3$.
По свойству степени $((a^m)^n = a^{m \cdot n})$: $(2^5)^3 = 2^{5 \cdot 3} = 2^{15}$.

Теперь рассмотрим основание -2. Мы получили $2^{15}$. Показатель степени 15 — нечетное число. При возведении отрицательного числа в нечетную степень результат будет отрицательным: $(-2)^{15} = -2^{15}$.
Поскольку $32^3$ — положительное число, а $(-2)^{15}$ — отрицательное, представить $32^3$ в виде степени с основанием -2 невозможно.

Ответ: $32^3 = 2^{15}$; представить в виде степени с основанием -2 невозможно.

г) $8^{11}$

Представим основание 8 как степень числа 2: $8 = 2^3$.
Тогда выражение $8^{11}$ можно записать как $(2^3)^{11}$.
По свойству степени $((a^m)^n = a^{m \cdot n})$: $(2^3)^{11} = 2^{3 \cdot 11} = 2^{33}$.

Рассмотрим основание -2. Мы получили $2^{33}$. Показатель степени 33 — нечетное число. Это означает, что $(-2)^{33} = -2^{33}$.
Так как $8^{11}$ является положительным числом, а $(-2)^{33}$ — отрицательным, представить $8^{11}$ в виде степени с основанием -2 невозможно.

Ответ: $8^{11} = 2^{33}$; представить в виде степени с основанием -2 невозможно.