Номер 560, страница 171 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 6.2. Степень степени, произведения и дроби. Глава 6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 560, страница 171.

560 Упростите выражение:

а) $a(a^2)^3;$

б) $(y^3)^4y^4;$

в) $c^2c^5(c^2)^5;$

г) $(x^4x)^5;$

д) $(k^{10}k^2)^3;$

е) $\frac{(a^2)^{10}}{a^{15}};$

ж) $(\frac{x^7}{x^2})^5;$

з) $\frac{y^{10}}{(y^2)^4}.$

а) Для упрощения выражения $a(a^2)^3$ воспользуемся свойствами степеней.

Сначала возведем степень в степень, используя правило $(x^m)^n = x^{mn}$:

$(a^2)^3 = a^{2 \cdot 3} = a^6$.

Теперь исходное выражение принимает вид $a \cdot a^6$.

Далее применим правило умножения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$. Учитывая, что $a = a^1$:

$a^1 \cdot a^6 = a^{1+6} = a^7$.

Ответ: $a^7$.

б) Рассмотрим выражение $(y^3)^4 y^4$.

Применим правило возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{mn}$ к первому множителю:

$(y^3)^4 = y^{3 \cdot 4} = y^{12}$.

Теперь выражение выглядит так: $y^{12} \cdot y^4$.

Используем правило умножения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:

$y^{12} \cdot y^4 = y^{12+4} = y^{16}$.

Ответ: $y^{16}$.

в) Упростим выражение $c^2 c^5 (c^2)^5$.

Сначала упростим множитель в скобках, используя правило $(x^m)^n = x^{mn}$:

$(c^2)^5 = c^{2 \cdot 5} = c^{10}$.

Теперь подставим это в исходное выражение: $c^2 \cdot c^5 \cdot c^{10}$.

Применим правило умножения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n \cdot x^p = x^{m+n+p}$:

$c^{2+5+10} = c^{17}$.

Ответ: $c^{17}$.

г) Упростим выражение $(x^4 x)^5$.

Сначала выполним действие в скобках, используя правило умножения степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$ и учитывая, что $x=x^1$:

$x^4 \cdot x = x^4 \cdot x^1 = x^{4+1} = x^5$.

Теперь выражение принимает вид $(x^5)^5$.

Далее применим правило возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{mn}$:

$(x^5)^5 = x^{5 \cdot 5} = x^{25}$.

Ответ: $x^{25}$.

д) Рассмотрим выражение $(k^{10} k^2)^3$.

Сначала упростим выражение в скобках, используя свойство умножения степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:

$k^{10} \cdot k^2 = k^{10+2} = k^{12}$.

Теперь выражение выглядит так: $(k^{12})^3$.

Применим свойство возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{mn}$:

$(k^{12})^3 = k^{12 \cdot 3} = k^{36}$.

Ответ: $k^{36}$.

е) Упростим выражение $\frac{(a^2)^{10}}{a^{15}}$.

Сначала преобразуем числитель, используя правило возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{mn}$:

$(a^2)^{10} = a^{2 \cdot 10} = a^{20}$.

Теперь выражение имеет вид $\frac{a^{20}}{a^{15}}$.

Применим правило деления степеней с одинаковым основанием $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:

$\frac{a^{20}}{a^{15}} = a^{20-15} = a^5$.

Ответ: $a^5$.

ж) Упростим выражение $(\frac{x^7}{x^2})^5$.

Сначала упростим выражение в скобках, используя правило деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{x^7}{x^2} = x^{7-2} = x^5$.

Теперь выражение принимает вид $(x^5)^5$.

Применим правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$:

$(x^5)^5 = x^{5 \cdot 5} = x^{25}$.

Ответ: $x^{25}$.

з) Упростим выражение $\frac{y^{10}}{(y^2)^4}$.

Сначала преобразуем знаменатель, используя правило возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{mn}$:

$(y^2)^4 = y^{2 \cdot 4} = y^8$.

Теперь выражение принимает вид $\frac{y^{10}}{y^8}$.

Применим правило деления степеней с одинаковым основанием $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:

$\frac{y^{10}}{y^8} = y^{10-8} = y^2$.

Ответ: $y^2$.