Страница 168 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

550 Представьте выражение в виде степени с основанием $a$:

а) $a^k a^{2k}$;

б) $a^{k+1} a^k$;

в) $a a^k a^{2-k}$;

г) $a^{k-1} a^2$;

д) $a a^k a^{k-1}$;

е) $a^{k+1} a^{k-1}$.

Для решения всех пунктов используется свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются, а основание остается прежним. Также следует помнить, что любое число или переменная без указания степени считается в первой степени, то есть $a = a^1$.

а) $a^k a^{2k}$

Складываем показатели степеней $k$ и $2k$:

$a^k \cdot a^{2k} = a^{k + 2k} = a^{3k}$

Ответ: $a^{3k}$

б) $a^{k+1} a^k$

Складываем показатели степеней $k+1$ и $k$:

$a^{k+1} \cdot a^k = a^{(k+1) + k} = a^{k+1+k} = a^{2k+1}$

Ответ: $a^{2k+1}$

в) $a a^k a^{2-k}$

Представляем $a$ как $a^1$ и складываем показатели степеней $1$, $k$ и $2-k$:

$a^1 \cdot a^k \cdot a^{2-k} = a^{1 + k + (2-k)} = a^{1+k+2-k} = a^3$

Ответ: $a^3$

г) $a^{k-1} a^2$

Складываем показатели степеней $k-1$ и $2$:

$a^{k-1} \cdot a^2 = a^{(k-1) + 2} = a^{k-1+2} = a^{k+1}$

Ответ: $a^{k+1}$

д) $a a^k a^{k-1}$

Представляем $a$ как $a^1$ и складываем показатели степеней $1$, $k$ и $k-1$:

$a^1 \cdot a^k \cdot a^{k-1} = a^{1 + k + (k-1)} = a^{1+k+k-1} = a^{2k}$

Ответ: $a^{2k}$

е) $a^{k+1} a^{k-1}$

Складываем показатели степеней $k+1$ и $k-1$:

$a^{k+1} \cdot a^{k-1} = a^{(k+1) + (k-1)} = a^{k+1+k-1} = a^{2k}$

Ответ: $a^{2k}$

551 Представьте выражение в виде степени с основанием y:

а) $y^{k+1} : y^{k-1}$;

б) $y^{3k} : y^{2k-2}$;

в) $y^{10k} : y^{5k-1}$;

г) $y^{2k+2} : y^2$.

а) Для того чтобы представить выражение $y^{k+1} : y^{k-1}$ в виде степени с основанием $y$, необходимо воспользоваться свойством деления степеней с одинаковым основанием, которое гласит: $a^m : a^n = a^{m-n}$. В данном примере основание $a = y$, показатель степени делимого $m = k+1$, а показатель степени делителя $n = k-1$.
Выполним вычитание показателей: $(k+1) - (k-1) = k+1-k+1 = 2$.
Таким образом, $y^{k+1} : y^{k-1} = y^{(k+1) - (k-1)} = y^2$.
Ответ: $y^2$.

б) Для выражения $y^{3k} : y^{2k-2}$ применим то же самое правило деления степеней. Здесь основание $a=y$, показатель делимого $m = 3k$, а показатель делителя $n = 2k-2$.
Найдем разность показателей: $3k - (2k-2) = 3k - 2k + 2 = k+2$.
Следовательно, $y^{3k} : y^{2k-2} = y^{3k - (2k-2)} = y^{k+2}$.
Ответ: $y^{k+2}$.

в) Рассмотрим выражение $y^{10k} : y^{5k-1}$. Используем свойство $a^m : a^n = a^{m-n}$, где основание $a=y$, показатель делимого $m = 10k$ и показатель делителя $n = 5k-1$.
Вычислим разность показателей: $10k - (5k-1) = 10k - 5k + 1 = 5k+1$.
В результате преобразования получаем: $y^{10k} : y^{5k-1} = y^{10k - (5k-1)} = y^{5k+1}$.
Ответ: $y^{5k+1}$.

г) Для выражения $y^{2k+2} : y^2$ также воспользуемся правилом деления степеней. В этом случае основание $a=y$, показатель степени делимого $m = 2k+2$, а показатель степени делителя $n = 2$.
Выполним вычитание показателей: $(2k+2) - 2 = 2k+2-2 = 2k$.
Таким образом, итоговое выражение имеет вид: $y^{2k+2} : y^2 = y^{(2k+2)-2} = y^{2k}$.
Ответ: $y^{2k}$.

552 Представьте выражение в виде произведения двух или нескольких степеней:

а) $x^{n+m};$ б) $y^{2n};$ в) $a^{n+1};$ г) $b^{2n+1}.$

а) Чтобы представить выражение в виде произведения степеней, используется свойство умножения степеней с одинаковым основанием, которое гласит: $a^{p+q} = a^p \cdot a^q$. В выражении $x^{n+m}$ основание равно $x$, а показатель степени является суммой $n$ и $m$.

Применив это свойство, мы можем разложить выражение на произведение двух степеней:

$x^{n+m} = x^n \cdot x^m$

Ответ: $x^n \cdot x^m$

б) В выражении $y^{2n}$ показатель степени $2n$ можно представить как сумму $n+n$ или как произведение $2 \cdot n$. Задание требует представить выражение в виде произведения степеней, поэтому рассмотрим показатель как сумму.

Используя свойство $a^{p+q} = a^p \cdot a^q$, получаем:

$y^{2n} = y^{n+n} = y^n \cdot y^n$

Это также можно записать как $(y^n)^2$, что по определению является произведением $y^n \cdot y^n$.

Ответ: $y^n \cdot y^n$

в) Выражение $a^{n+1}$ преобразуется аналогично пункту а). Показатель степени здесь является суммой $n$ и $1$.

Применяем свойство умножения степеней с одинаковым основанием:

$a^{n+1} = a^n \cdot a^1 = a^n \cdot a$

Ответ: $a^n \cdot a$

г) Для выражения $b^{2n+1}$ представим его показатель $2n+1$ в виде суммы двух слагаемых: $2n$ и $1$.

Используя свойство умножения степеней $a^{p+q} = a^p \cdot a^q$, получаем:

$b^{2n+1} = b^{2n} \cdot b^1 = b^{2n} \cdot b$

Это уже является произведением двух степеней. Можно пойти дальше и разложить $b^{2n}$ на множители, как в пункте б), тогда получится произведение трех степеней: $b^{2n+1} = b^n \cdot b^n \cdot b$.

Ответ: $b^{2n} \cdot b$

553 Представьте выражение в виде дроби:

а) $a^{m-n}$;

б) $x^{m-2}$;

в) $y^{10-m}$;

г) $b^{m-1}$.

Для решения данной задачи мы воспользуемся свойством степеней, которое гласит, что частное степеней с одинаковым основанием равно степени с тем же основанием и показателем, равным разности показателей делимого и делителя. В виде формулы это выглядит так: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

Чтобы представить заданные выражения в виде дроби, мы применим это свойство в обратном порядке: $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$.

а) Представим выражение $a^{m-n}$ в виде дроби, используя указанное выше свойство.

В данном случае основание равно $a$, первый показатель степени равен $m$, а второй — $n$.

Применяя правило, получаем: $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$.

Ответ: $\frac{a^m}{a^n}$.

б) Представим выражение $x^{m-2}$ в виде дроби.

Здесь основание равно $x$, первый показатель степени равен $m$, а второй — $2$.

Следуя свойству степеней, получаем: $x^{m-2} = \frac{x^m}{x^2}$.

Ответ: $\frac{x^m}{x^2}$.

в) Представим выражение $y^{10-m}$ в виде дроби.

Основание равно $y$, первый показатель степени равен $10$, а второй — $m$.

По свойству степеней: $y^{10-m} = \frac{y^{10}}{y^m}$.

Ответ: $\frac{y^{10}}{y^m}$.

г) Представим выражение $b^{m-1}$ в виде дроби.

Основание равно $b$, первый показатель степени равен $m$, а второй — $1$.

Применяя правило, получаем: $b^{m-1} = \frac{b^m}{b^1}$. Поскольку любое число в первой степени равно самому себе ($b^1=b$), мы можем записать:

$b^{m-1} = \frac{b^m}{b}$.

Ответ: $\frac{b^m}{b}$.

554 Упростите выражение:

а) $\frac{x^n \cdot x^{20}}{x^{10}}$;

б) $\frac{a^n \cdot a^{n+2}}{a^{2n}}$;

в) $\frac{c^{8n}}{c^n \cdot c^{4n}}$;

г) $\frac{y^{n+12}}{y^n \cdot y^{11}}$.

а) Для упрощения выражения $\frac{x^n \cdot x^{20}}{x^{10}}$ необходимо использовать свойства степеней. Сначала, в числителе, применим правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^k = a^{m+k}$:
$x^n \cdot x^{20} = x^{n+20}$
Теперь выражение принимает вид:
$\frac{x^{n+20}}{x^{10}}$
Далее применяем правило деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$:
$\frac{x^{n+20}}{x^{10}} = x^{(n+20) - 10} = x^{n+10}$
Ответ: $x^{n+10}$

б) Чтобы упростить выражение $\frac{a^n \cdot a^{n+2}}{a^{2n}}$, сначала упростим числитель, используя правило умножения степеней $a^m \cdot a^k = a^{m+k}$:
$a^n \cdot a^{n+2} = a^{n + (n+2)} = a^{2n+2}$
Теперь подставим это в дробь:
$\frac{a^{2n+2}}{a^{2n}}$
Затем используем правило деления степеней $\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$:
$\frac{a^{2n+2}}{a^{2n}} = a^{(2n+2) - 2n} = a^2$
Ответ: $a^2$

в) Для упрощения выражения $\frac{c^{8n}}{c^n \cdot c^{4n}}$ сначала упростим знаменатель, используя правило умножения степеней $a^m \cdot a^k = a^{m+k}$:
$c^n \cdot c^{4n} = c^{n+4n} = c^{5n}$
Теперь выражение выглядит так:
$\frac{c^{8n}}{c^{5n}}$
Применим правило деления степеней $\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$:
$\frac{c^{8n}}{c^{5n}} = c^{8n - 5n} = c^{3n}$
Ответ: $c^{3n}$

г) Чтобы упростить выражение $\frac{y^{n+12}}{y^n \cdot y^{11}}$, начнем с упрощения знаменателя по правилу умножения степеней $a^m \cdot a^k = a^{m+k}$:
$y^n \cdot y^{11} = y^{n+11}$
Теперь дробь имеет вид:
$\frac{y^{n+12}}{y^{n+11}}$
Используем правило деления степеней $\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$:
$\frac{y^{n+12}}{y^{n+11}} = y^{(n+12) - (n+11)} = y^{n+12-n-11} = y^1 = y$
Ответ: $y$

555 Представьте каждое из выражений в виде степени:

a) $2 \cdot 2^3$, $2^5 + 2^5$, $2^n + 2^n$, $2^n \cdot 2^n$;

б) $3 \cdot 3^4$, $3^6 + 3^6 + 3^6$, $3^n + 3^n + 3^n$, $3^n \cdot 3^n$.

а)

Для выражения $2 \cdot 2^3$: представим множитель $2$ как $2^1$. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются согласно свойству $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Таким образом, $2 \cdot 2^3 = 2^1 \cdot 2^3 = 2^{1+3} = 2^4$.
Ответ: $2^4$

Для выражения $2^5 + 2^5$: данное выражение является суммой двух одинаковых слагаемых, что можно записать как произведение этого слагаемого на 2. Получаем $2 \cdot 2^5$. Далее, применяя свойство умножения степеней, имеем: $2^1 \cdot 2^5 = 2^{1+5} = 2^6$.
Ответ: $2^6$

Для выражения $2^n + 2^n$: аналогично предыдущему примеру, сумма двух одинаковых слагаемых равна произведению $2 \cdot 2^n$. Используя свойство умножения степеней, получаем $2^1 \cdot 2^n = 2^{n+1}$.
Ответ: $2^{n+1}$

Для выражения $2 \cdot 2^n$: применяем свойство умножения степеней с одинаковым основанием, где $2$ это $2^1$: $2 \cdot 2^n = 2^1 \cdot 2^n = 2^{1+n}$.
Ответ: $2^{n+1}$

б)

Для выражения $3 \cdot 3^4$: представим множитель $3$ как $3^1$. По свойству умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем: $3^1 \cdot 3^4 = 3^{1+4} = 3^5$.
Ответ: $3^5$

Для выражения $3^6 + 3^6 + 3^6$: это сумма трех одинаковых слагаемых, которую можно представить в виде произведения этого слагаемого на 3. Получаем $3 \cdot 3^6$. Далее, по свойству умножения степеней: $3^1 \cdot 3^6 = 3^{1+6} = 3^7$.
Ответ: $3^7$

Для выражения $3^n + 3^n + 3^n$: сумма трех одинаковых слагаемых равна произведению $3 \cdot 3^n$. Применяя свойство умножения степеней, получаем $3^1 \cdot 3^n = 3^{n+1}$.
Ответ: $3^{n+1}$

Для выражения $3^n \cdot 3^n$: по свойству умножения степеней с одинаковым основанием, их показатели складываются: $3^n \cdot 3^n = 3^{n+n} = 3^{2n}$.
Ответ: $3^{2n}$

556 Вычислите:

a) $ \frac{5^n + 5^n + 5^n + 5^n + 5^n}{5^n + 5^n + 5^n + 5^n} $;

б) 100 слагаемых
$ \frac{100^n + 100^n + 100^n + \ldots + 100^n}{100^n + 100^n + 100^n + \ldots + 100^n} $
90 слагаемых.

а)

Рассмотрим выражение $ \displaystyle\frac{5^n + 5^n + 5^n + 5^n + 5^n}{5^n + 5^n + 5^n + 5^n} $.
В числителе находится сумма пяти одинаковых слагаемых $5^n$. Эту сумму можно представить в виде произведения: $5^n + 5^n + 5^n + 5^n + 5^n = 5 \cdot 5^n$.
В знаменателе находится сумма четырех одинаковых слагаемых $5^n$. Эта сумма равна $4 \cdot 5^n$.
Подставим эти выражения обратно в дробь: $ \displaystyle\frac{5 \cdot 5^n}{4 \cdot 5^n} $.
Теперь можно сократить общий множитель $5^n$, так как он отличен от нуля: $ \displaystyle\frac{5 \cdot \cancel{5^n}}{4 \cdot \cancel{5^n}} = \frac{5}{4} $.
Преобразуем полученную неправильную дробь в десятичную: $ \displaystyle\frac{5}{4} = 1.25 $.
Ответ: $1.25$

б)

Рассмотрим выражение $ \displaystyle\frac{\overbrace{100^n + 100^n + \dots + 100^n}^{\text{100 слагаемых}}}{\underbrace{100^n + 100^n + \dots + 100^n}_{\text{90 слагаемых}}} $.
Числитель представляет собой сумму 100 одинаковых слагаемых $100^n$. Эту сумму можно записать как произведение: $100 \cdot 100^n$.
Знаменатель представляет собой сумму 90 одинаковых слагаемых $100^n$. Эту сумму можно записать как $90 \cdot 100^n$.
Подставим полученные выражения в дробь: $ \displaystyle\frac{100 \cdot 100^n}{90 \cdot 100^n} $.
Сократим общий множитель $100^n$ в числителе и знаменателе: $ \displaystyle\frac{100 \cdot \cancel{100^n}}{90 \cdot \cancel{100^n}} = \frac{100}{90} $.
Сократим полученную дробь на 10: $ \displaystyle\frac{100}{90} = \frac{10}{9} $.
Ответ: $\displaystyle\frac{10}{9}$