Страница 162 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

5 Каким равенством можно задать вертикальную прямую, проходящую через точку $M(-2; 6)$?

1) $x = -2$

2) $x = 6$

3) $y = -2$

4) $y = 6$

Вертикальная прямая в декартовой системе координат — это прямая, параллельная оси ординат (оси $y$). Все точки, лежащие на такой прямой, имеют одинаковую абсциссу (координату $x$). Общее уравнение вертикальной прямой имеет вид $x = c$, где $c$ — это константа, равная абсциссе любой точки на этой прямой.

По условию задачи, искомая вертикальная прямая проходит через точку $M$ с координатами $(-2; 6)$. Это означает, что абсцисса любой точки на этой прямой должна быть такой же, как и абсцисса точки $M$.

Абсцисса точки $M$ равна $-2$. Следовательно, уравнение искомой вертикальной прямой будет $x = -2$.

Проанализируем предложенные варианты:

1) $x = -2$. Это уравнение задает вертикальную прямую, у которой все точки имеют абсциссу $-2$. Точка $M(-2; 6)$ удовлетворяет этому условию, так как ее абсцисса равна $-2$. Этот вариант является правильным.

2) $x = 6$. Это уравнение задает вертикальную прямую, но она проходит через точки с абсциссой $6$. Точка $M$ на ней не лежит.

3) $y = -2$. Это уравнение вида $y = c$, оно задает горизонтальную прямую, параллельную оси абсцисс ($x$), а не вертикальную.

4) $y = 6$. Это уравнение также задает горизонтальную прямую. Хотя точка $M(-2; 6)$ и лежит на этой прямой (ее ордината равна $6$), сама прямая не является вертикальной, что противоречит условию задачи.

Ответ: 1) $x = -2$

6 Каким равенством можно задать горизонтальную прямую, проходящую через точку $M(a; b)$?

1) $x = a$

2) $x = b$

3) $y = a$

4) $y = b$

Горизонтальная прямая в декартовой системе координат — это прямая, которая параллельна оси абсцисс (оси $Ox$). Отличительной особенностью такой прямой является то, что все её точки имеют одну и ту же координату $y$, в то время как координата $x$ может быть любой.

Уравнение любой горизонтальной прямой можно записать в виде $y = k$, где $k$ — это постоянное значение ординаты для всех точек на прямой.

В задаче указано, что прямая должна проходить через точку $M(a; b)$. Это означает, что координаты этой точки должны удовлетворять уравнению прямой. У точки $M$ абсцисса (координата $x$) равна $a$, а ордината (координата $y$) равна $b$.

Поскольку искомая прямая является горизонтальной и проходит через точку с ординатой $b$, то все точки на этой прямой должны иметь ординату, равную $b$. Следовательно, константа $k$ в общем уравнении прямой $y=k$ должна быть равна $b$.

Таким образом, уравнение искомой горизонтальной прямой — $y = b$.

Среди предложенных вариантов:
1) $x = a$ и 2) $x = b$ — это уравнения вертикальных прямых.
3) $y = a$ — это уравнение горизонтальной прямой, но она проходит через точки с ординатой $a$.
4) $y = b$ — это верное уравнение, так как оно задает горизонтальную прямую, проходящую через все точки с ординатой $b$, включая точку $M(a; b)$.

Ответ: $y=b$

7 Поставьте в соответствие каждому множеству точек его алгебраи-ческое описание.

А) Б) В) Г) 1) $x = 2$ и $y \geq 2$

2) $y = 2$ и $x \geq 2$

3) $y = -2$ и $|x| \leq 2$

4) $x = -2$ и $|y| \leq 2$

А) На данном графике изображен луч. Все точки этого луча имеют ординату (координату $y$) равную 2. Луч начинается в точке с абсциссой (координатой $x$) равной 2 и продолжается вправо, что означает, что значения $x$ больше или равны 2. Таким образом, это множество точек описывается условиями $y = 2$ и $x \ge 2$. Это соответствует варианту 2.

Ответ: 2

Б) На графике изображен горизонтальный отрезок. Все точки этого отрезка имеют ординату (координату $y$) равную -2. Абсциссы (координаты $x$) точек этого отрезка принадлежат промежутку от -2 до 2 включительно. Это условие можно записать как двойное неравенство $-2 \le x \le 2$, что эквивалентно неравенству с модулем $|x| \le 2$. Следовательно, данное множество точек описывается условиями $y = -2$ и $|x| \le 2$. Это соответствует варианту 3.

Ответ: 3

В) На графике изображен луч. Все точки этого луча имеют абсциссу (координату $x$) равную 2. Луч начинается в точке с ординатой (координатой $y$) равной 2 и продолжается вверх, что означает, что значения $y$ больше или равны 2. Таким образом, это множество точек описывается условиями $x = 2$ и $y \ge 2$. Это соответствует варианту 1.

Ответ: 1

Г) На графике изображен вертикальный отрезок. Все точки этого отрезка имеют абсциссу (координату $x$) равную -2. Ординаты (координаты $y$) точек этого отрезка принадлежат промежутку от -2 до 2 включительно. Это условие можно записать как двойное неравенство $-2 \le y \le 2$, что эквивалентно неравенству с модулем $|y| \le 2$. Следовательно, данное множество точек описывается условиями $x = -2$ и $|y| \le 2$. Это соответствует варианту 4.

Ответ: 4

8 Для каждого графика укажите его алгебраическое описание.

А) Б) В) Г) Д) 1) $y = x^3$

2) $y = x^2$

3) $y = x$

4) $y = |x|$

5) $y = -x$

А) На данном графике изображена прямая линия, проходящая через начало координат. Угол наклона прямой к положительному направлению оси Ох тупой, следовательно, угловой коэффициент отрицательный. Эта прямая является биссектрисой второго и четвертого координатных углов. Такой вид имеет график линейной функции $y = -x$.
Ответ: 5

Б) На данном графике изображена прямая линия, проходящая через начало координат. Угол наклона прямой к положительному направлению оси Ох острый, следовательно, угловой коэффициент положительный. Эта прямая является биссектрисой первого и третьего координатных углов. Такой вид имеет график линейной функции $y = x$.
Ответ: 3

В) На данном графике изображена кубическая парабола, которая проходит через начало координат и симметрична относительно него. График расположен в первой и третьей координатных четвертях. Такой вид имеет график функции $y = x^3$.
Ответ: 1

Г) На данном графике изображена парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в начале координат. График симметричен относительно оси Оу и расположен в первой и второй координатных четвертях. Такой вид имеет график квадратичной функции $y = x^2$.
Ответ: 2

Д) На данном графике изображены два луча, выходящие из начала координат и являющиеся биссектрисами первого и второго координатных углов. График симметричен относительно оси Оу. Такой вид имеет график функции $y = |x|$.
Ответ: 4

9 На рисунке изображён график изменения скорости автомобиля. Определите, на каком промежутке времени скорость автомобиля росла быстрее.

$v$, км/ч

$t$, мин

1) на промежутке от 0 мин до 2 мин

2) на промежутке от 2 мин до 4 мин

3) на промежутке от 4 мин до 6 мин

4) на промежутке от 6 мин до 8 мин

Чтобы определить, на каком промежутке времени скорость автомобиля росла быстрее, необходимо найти промежуток с наибольшим ускорением. Ускорение на графике зависимости скорости от времени ($v$ от $t$) равно тангенсу угла наклона графика к оси времени. Чем круче наклон графика, тем больше ускорение и тем быстрее растет скорость.

Рассчитаем среднее ускорение $a$ для каждого из предложенных промежутков по формуле $a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_{конечная} - v_{начальная}}{t_{конечная} - t_{начальная}}$.

Из графика определяем: в момент времени $t_1 = 0$ мин скорость $v_1 = 0$ км/ч; в момент времени $t_2 = 2$ мин скорость $v_2 = 40$ км/ч.
Ускорение на этом промежутке: $a_1 = \frac{40 \text{ км/ч} - 0 \text{ км/ч}}{2 \text{ мин} - 0 \text{ мин}} = \frac{40}{2} = 20$ (км/ч)/мин.

Из графика определяем: в момент времени $t_1 = 2$ мин скорость $v_1 = 40$ км/ч; в момент времени $t_2 = 4$ мин скорость $v_2 = 60$ км/ч.
Ускорение на этом промежутке: $a_2 = \frac{60 \text{ км/ч} - 40 \text{ км/ч}}{4 \text{ мин} - 2 \text{ мин}} = \frac{20}{2} = 10$ (км/ч)/мин.

Из графика определяем: в момент времени $t_1 = 4$ мин скорость $v_1 = 60$ км/ч; в момент времени $t_2 = 6$ мин скорость $v_2 = 70$ км/ч.
Ускорение на этом промежутке: $a_3 = \frac{70 \text{ км/ч} - 60 \text{ км/ч}}{6 \text{ мин} - 4 \text{ мин}} = \frac{10}{2} = 5$ (км/ч)/мин.

Из графика определяем: в момент времени $t_1 = 6$ мин скорость $v_1 = 70$ км/ч; в момент времени $t_2 = 8$ мин скорость $v_2 = 100$ км/ч.
Ускорение на этом промежутке: $a_4 = \frac{100 \text{ км/ч} - 70 \text{ км/ч}}{8 \text{ мин} - 6 \text{ мин}} = \frac{30}{2} = 15$ (км/ч)/мин.

Сравнив полученные значения ускорений ($a_1=20$, $a_2=10$, $a_3=5$, $a_4=15$), мы видим, что наибольшее ускорение автомобиль имел на первом промежутке времени. Следовательно, на этом участке скорость росла быстрее всего.

Ответ: 1