Страница 158 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

520 У девочек одного из седьмых классов узнали их рост и вес. Затем каждой девочке поставили в соответствие точку на координатной плоскости, отложив по горизонтальной оси рост (в см), а по вертикальной вес (в кг) (рис. 5.51). Для танцевальной студии нужны девочки не ниже 155 см и не выше 165 см, которые весят не более 45 кг. Сколько таких в классе?

Вес, кг

Рост, см

Рис. 5.51

Для решения задачи необходимо найти на диаграмме рассеяния все точки, которые соответствуют девочкам, удовлетворяющим заданным критериям для танцевальной студии.

Критерии отбора следующие:

• Рост должен быть не ниже 155 см и не выше 165 см. В виде математического неравенства это можно записать как $155 \le \text{рост} \le 165$ см.
• Вес должен быть не более 45 кг. Это означает, что $\text{вес} \le 45$ кг.

На графике рост (в см) отложен по горизонтальной оси (оси абсцисс), а вес (в кг) — по вертикальной оси (оси ординат). Нам нужно найти количество точек, координаты $(x, y)$ которых удовлетворяют системе неравенств:

$ \begin{cases} 155 \le x \le 165 \\ y \le 45 \end{cases} $

Для этого определим на графике соответствующую область.

1. Определяем границы по росту (ось x). На горизонтальной оси каждое большое деление равно 10 см. Каждая клетка сетки соответствует $10 \div 2 = 5$ см. Таким образом, нас интересует вертикальная полоса между отметками $x=155$ (середина между 150 и 160) и $x=165$ (середина между 160 и 170), включая сами эти границы.

2. Определяем границу по весу (ось y). На вертикальной оси каждое большое деление равно 10 кг. Каждая клетка сетки соответствует $10 \div 2 = 5$ кг. Нас интересует область, где вес не превышает 45 кг, то есть находится на или ниже горизонтальной линии $y=45$ (линия посередине между 40 и 50).

Теперь посчитаем количество точек, которые попадают в эту заданную прямоугольную область:

1. Точка с координатами примерно $(155, 41)$. Рост $155$ см, вес $41$ кг. Условия $155 \le 155 \le 165$ и $41 \le 45$ выполняются. (1)
2. Точка с координатами примерно $(157, 40)$. Рост $157$ см, вес $40$ кг. Условия $155 \le 157 \le 165$ и $40 \le 45$ выполняются. (2)
3. Точка с координатами примерно $(158, 43)$. Рост $158$ см, вес $43$ кг. Условия $155 \le 158 \le 165$ и $43 \le 45$ выполняются. (3)
4. Точка с координатами $(160, 35)$. Рост $160$ см, вес $35$ кг. Условия $155 \le 160 \le 165$ и $35 \le 45$ выполняются. (4)
5. Точка с координатами примерно $(162, 40)$. Рост $162$ см, вес $40$ кг. Условия $155 \le 162 \le 165$ и $40 \le 45$ выполняются. (5)

Остальные точки в диапазоне роста от 155 до 165 см не подходят по весу (например, точка с ростом 165 см имеет вес 50 кг, что больше 45 кг). Другие точки не подходят по росту.

Таким образом, всего 5 девочек соответствуют требованиям.

Ответ: 5.

521 Катер курсирует между пляжем и парком водных аттракционов, расположенным на расстоянии 3 км от пляжа. На рисунке 5.52 изображён график движения катера в первые 40 мин его работы. Используя график, ответьте на вопросы:

а) Сколько остановок сделал катер в течение 40 мин? Какова длительность каждой остановки?

б) Сколько километров прошёл катер в первые 4 мин?

в) С какой скоростью шёл катер первые 6 мин?

г) С одинаковой ли скоростью шёл катер в рассматриваемый промежуток времени?

Рис. 5.52

а) Сколько остановок сделал катер в течение 40 мин? Какова длительность каждой остановки?

На графике зависимости расстояния от времени остановкам соответствуют горизонтальные участки, на которых расстояние от начальной точки (пляжа) не изменяется с течением времени.
В рассматриваемом промежутке времени (40 минут) мы видим три таких участка:
1. Первый участок с 8-й по 12-ю минуту. Катер находится на расстоянии 3 км от пляжа (в парке аттракционов). Длительность остановки: $12 - 8 = 4$ минуты.
2. Второй участок с 20-й по 24-ю минуту. Катер находится на расстоянии 0 км от пляжа (вернулся на пляж). Длительность остановки: $24 - 20 = 4$ минуты.
3. Третий участок с 28-й по 32-ю минуту. Катер снова находится на расстоянии 3 км от пляжа. Длительность остановки: $32 - 28 = 4$ минуты.
Таким образом, за 40 минут катер сделал 3 остановки, и длительность каждой из них составила 4 минуты.
Ответ: Катер сделал 3 остановки; длительность каждой остановки составляет 4 минуты.

б) Сколько километров прошёл катер в первые 4 мин?

Из графика видно, что в интервале от 0 до 8 минут катер двигался с постоянной скоростью, так как график на этом участке представляет собой прямую линию. За 8 минут катер прошёл расстояние в 3 км.
Поскольку движение равномерное, то за половину времени (4 минуты) катер пройдёт половину пути.
Расстояние, пройденное за 4 минуты, равно:
$S = 3 \text{ км} \cdot \frac{4 \text{ мин}}{8 \text{ мин}} = 3 \text{ км} \cdot \frac{1}{2} = 1,5$ км.
Ответ: В первые 4 минуты катер прошёл 1,5 км.

в) С какой скоростью шёл катер первые 6 мин?

На промежутке времени от 0 до 8 минут катер двигался с постоянной скоростью. Это означает, что его скорость в любую минуту этого интервала, включая первые 6 минут, была одинаковой.
Скорость $v$ вычисляется как отношение пройденного расстояния $S$ ко времени $t$: $v = \frac{S}{t}$.
За 8 минут катер прошёл 3 км. Следовательно, его скорость была:
$v = \frac{3 \text{ км}}{8 \text{ мин}} = 0,375$ км/мин.
Также можно выразить эту скорость в более привычных единицах, километрах в час (км/ч), умножив на 60:
$v = 0,375 \frac{\text{км}}{\text{мин}} \times 60 \frac{\text{мин}}{\text{ч}} = 22,5$ км/ч.
Ответ: Скорость катера в первые 6 минут составляла 0,375 км/мин (или 22,5 км/ч).

г) С одинаковой ли скоростью шёл катер в рассматриваемый промежуток времени?

Чтобы определить, была ли скорость катера одинаковой, нужно рассчитать её на всех участках движения (участки, где график имеет наклон) и сравнить полученные значения. Скорость — это модуль тангенса угла наклона графика.
1. Участок от 0 до 8 мин: $v_1 = \frac{3 - 0 \text{ км}}{8 - 0 \text{ мин}} = \frac{3}{8}$ км/мин.
2. Участок от 12 до 20 мин: $v_2 = \frac{|0 - 3| \text{ км}}{20 - 12 \text{ мин}} = \frac{3 \text{ км}}{8 \text{ мин}} = \frac{3}{8}$ км/мин.
3. Участок от 24 до 28 мин: $v_3 = \frac{3 - 0 \text{ км}}{28 - 24 \text{ мин}} = \frac{3 \text{ км}}{4 \text{ мин}} = \frac{3}{4}$ км/мин.
4. Участок от 32 до 40 мин: $v_4 = \frac{|0 - 3| \text{ км}}{40 - 32 \text{ мин}} = \frac{3 \text{ км}}{8 \text{ мин}} = \frac{3}{8}$ км/мин.
Сравнивая скорости, мы видим, что $v_1 = v_2 = v_4 = \frac{3}{8}$ км/мин, а $v_3 = \frac{3}{4}$ км/мин.
Поскольку $\frac{3}{4} = \frac{6}{8}$, то очевидно, что $\frac{3}{8} \neq \frac{3}{4}$. Следовательно, скорость катера не была одинаковой на протяжении всего времени.
Ответ: Нет, катер шёл с разной скоростью. На участке от 24 до 28 минут его скорость ($0,75$ км/мин) была в два раза выше, чем на других участках движения ($0,375$ км/мин).

АНАЛИЗИРУЕМ (522-523)

522 Лыжник во время тренировки пробежал дистанцию 3000 м по лыжне, проходящей по лесной просеке, длина которой 500 м.

Рис. 5.53

График (рис. 5.53) показывает, как менялось во время движения расстояние между лыжником и местом старта. Используя график, ответьте на вопросы:

a) За какое время лыжник прошёл всю дистанцию?

б) Чему была равна скорость лыжника на третьем отрезке пути?

в) На каком по счёту отрезке пути лыжник шёл медленнее всего? С какой скоростью?

а) Согласно условию задачи, лыжник пробежал дистанцию в 3000 м, а длина лесной просеки составляет 500 м. График показывает расстояние от лыжника до точки старта.

Каждый отрезок на графике, идущий вверх (от 0 до 500 м) или вниз (от 500 до 0 м), соответствует прохождению просеки в одном направлении, то есть 500 м.

Чтобы пройти общую дистанцию в 3000 м, лыжнику необходимо было преодолеть $3000 \text{ м} / 500 \text{ м} = 6$ таких отрезков.

Посмотрим на график, чтобы определить, когда закончился шестой отрезок:

• 1-й отрезок: 0 - 3 мин
• 2-й отрезок: 3 - 6 мин
• 3-й отрезок: 6 - 10 мин
• 4-й отрезок: 10 - 14 мин
• 5-й отрезок: 14 - 18 мин
• 6-й отрезок: 18 - 22 мин

Вся дистанция была пройдена за 22 минуты, что соответствует конечной точке на графике.

Ответ: 22 минуты.

б) Третий отрезок пути на графике соответствует промежутку времени от 6 до 10 минут. На этом отрезке лыжник двигался от точки старта (расстояние 0 м) к концу просеки (расстояние 500 м).

Расстояние, пройденное на этом отрезке, равно $\Delta s = 500 \text{ м}$.

Время, затраченное на прохождение этого отрезка, равно $\Delta t = 10 \text{ мин} - 6 \text{ мин} = 4 \text{ мин}$.

Скорость лыжника на третьем отрезке пути можно вычислить по формуле $v = \frac{\Delta s}{\Delta t}$:

$v_3 = \frac{500 \text{ м}}{4 \text{ мин}} = 125 \text{ м/мин}$

Ответ: 125 м/мин.

в) Чтобы определить, на каком отрезке лыжник шёл медленнее всего, нужно вычислить и сравнить его скорость на каждом из шести отрезков. Скорость обратно пропорциональна времени, затраченному на прохождение одинакового расстояния (500 м). Следовательно, самая медленная скорость будет на том отрезке, который лыжник проходил дольше всего.

Рассчитаем длительность каждого отрезка:

• 1-й отрезок: $\Delta t_1 = 3 - 0 = 3$ мин
• 2-й отрезок: $\Delta t_2 = 6 - 3 = 3$ мин
• 3-й отрезок: $\Delta t_3 = 10 - 6 = 4$ мин
• 4-й отрезок: $\Delta t_4 = 14 - 10 = 4$ мин
• 5-й отрезок: $\Delta t_5 = 18 - 14 = 4$ мин
• 6-й отрезок: $\Delta t_6 = 22 - 18 = 4$ мин

Самое большое время, затраченное на один отрезок пути, составляет 4 минуты. Это произошло на третьем, четвертом, пятом и шестом отрезках. На этих отрезках скорость была наименьшей.

Вычислим эту наименьшую скорость:

$v_{мин} = \frac{500 \text{ м}}{4 \text{ мин}} = 125 \text{ м/мин}$

Ответ: Лыжник шёл медленнее всего на третьем, четвертом, пятом и шестом отрезках пути. Его скорость на этих отрезках составляла 125 м/мин.