Страница 156 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

511 Изобразите на плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют равенству:

а) $y = |x| - x;$

б) $y = |x| \cdot x;$

в) $y = \frac{|x|}{x};$

г) $y = \frac{2x}{|x|}.$

а) $y = |x| - x$

Для построения графика этой функции необходимо раскрыть модуль. Рассмотрим два случая в зависимости от знака переменной $x$.

1. Если $x \ge 0$, то по определению модуля $|x| = x$. Подставим это в уравнение:
$y = x - x = 0$.
Таким образом, для всех $x \ge 0$ график представляет собой луч, совпадающий с положительной полуосью абсцисс (Оx), включая начало координат.

2. Если $x < 0$, то по определению модуля $|x| = -x$. Подставим это в уравнение:
$y = -x - x = -2x$.
Это уравнение задает прямую с угловым коэффициентом -2. Для $x < 0$ это луч, исходящий из начала координат и проходящий через вторую координатную четверть. Например, при $x=-1$, $y=2$; при $x=-2$, $y=4$.

Объединяя оба случая, получаем искомое множество точек.

Ответ: График состоит из двух лучей, выходящих из точки (0,0): один луч совпадает с неотрицательной частью оси Оx ($y=0$ при $x \ge 0$), а второй задается уравнением $y=-2x$ при $x < 0$.

б) $y = |x| \cdot x$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Уравнение принимает вид:
$y = x \cdot x = x^2$.
Графиком является часть параболы $y = x^2$, расположенная в первой координатной четверти, включая начало координат (правая ветвь параболы).

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:
$y = (-x) \cdot x = -x^2$.
Графиком является часть параболы $y = -x^2$, расположенная в третьей координатной четверти (левая ветвь параболы, которая симметрична параболе $y=x^2$ относительно оси Оx).

Итоговый график получается объединением этих двух частей.

Ответ: Множество точек является графиком, который при $x \ge 0$ совпадает с параболой $y=x^2$, а при $x < 0$ совпадает с параболой $y=-x^2$.

в) $y = \frac{|x|}{x}$

Сначала определим область допустимых значений. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x \ne 0$. Это значит, что на оси ординат (где $x=0$) точек, принадлежащих множеству, нет.

Рассмотрим два случая.

1. Если $x > 0$, то $|x| = x$. Уравнение принимает вид:
$y = \frac{x}{x} = 1$.
Это открытый луч (горизонтальная прямая), идущий вправо от оси Оy на высоте $y=1$. Точка (0,1) не принадлежит графику (является "выколотой").

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:
$y = \frac{-x}{x} = -1$.
Это открытый луч, идущий влево от оси Оy на высоте $y=-1$. Точка (0,-1) также является "выколотой".

График состоит из двух непересекающихся горизонтальных лучей.

Ответ: График состоит из двух открытых лучей: $y=1$ для всех $x>0$ и $y=-1$ для всех $x<0$.

г) $y = \frac{2x}{|x|}$

Область допустимых значений: $|x| \ne 0$, что означает $x \ne 0$. Точки на оси ординат не входят в искомое множество.

Рассмотрим два случая.

1. Если $x > 0$, то $|x| = x$. Уравнение принимает вид:
$y = \frac{2x}{x} = 2$.
Графиком является открытый горизонтальный луч $y=2$ для всех $x>0$. Точка (0,2) "выколота".

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:
$y = \frac{2x}{-x} = -2$.
Графиком является открытый горизонтальный луч $y=-2$ для всех $x<0$. Точка (0,-2) "выколота".

Искомое множество точек состоит из двух горизонтальных лучей.

Ответ: Множество точек состоит из двух открытых лучей: $y=2$ при $x > 0$ и $y=-2$ при $x < 0$.

512 Изобразите на координатной прямой множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению или неравенству:

а) $ |x-4|=2 $, $ |x-4|<2 $, $ |x-4|>2; $

б) $ |x+3|=4 $, $ |x+3|<4 $, $ |x+3|>4. $

а)

1. Решим уравнение $|x - 4| = 2$.

Геометрически выражение $|x - a|$ означает расстояние на координатной прямой между точками с координатами $x$ и $a$. Следовательно, $|x - 4| = 2$ означает, что расстояние от точки $x$ до точки $4$ равно $2$. На координатной прямой есть две такие точки: одна на 2 единицы правее точки 4, а другая — на 2 единицы левее.

Первая точка: $x_1 = 4 + 2 = 6$.

Вторая точка: $x_2 = 4 - 2 = 2$.

Алгебраически это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$x - 4 = 2$ или $x - 4 = -2$.

Из первого уравнения получаем $x = 6$. Из второго — $x = 2$.

На координатной прямой это множество изображается двумя закрашенными точками с координатами 2 и 6.

Ответ: Множество состоит из двух точек: $x=2$ и $x=6$.

2. Решим неравенство $|x - 4| < 2$.

Геометрически это означает, что расстояние от точки $x$ до точки $4$ меньше $2$. Это все точки, которые лежат между точками $4 - 2 = 2$ и $4 + 2 = 6$.

Алгебраически это неравенство равносильно двойному неравенству:

$-2 < x - 4 < 2$

Прибавим $4$ ко всем частям неравенства:

$-2 + 4 < x < 2 + 4$

$2 < x < 6$

На координатной прямой это множество изображается интервалом $(2, 6)$. Концы интервала, точки 2 и 6, не включаются в множество и изображаются выколотыми (пустыми) точками.

Ответ: Множество точек является интервалом $(2, 6)$.

3. Решим неравенство $|x - 4| > 2$.

Геометрически это означает, что расстояние от точки $x$ до точки $4$ больше $2$. Это все точки, которые лежат левее точки $4 - 2 = 2$ или правее точки $4 + 2 = 6$.

Алгебраически это неравенство равносильно совокупности двух неравенств:

$x - 4 > 2$ или $x - 4 < -2$

$x > 6$ или $x < 2$

На координатной прямой это множество изображается объединением двух лучей: $(-\infty, 2)$ и $(6, \infty)$. Точки 2 и 6 не включаются в множество и изображаются выколотыми точками.

Ответ: Множество точек является объединением интервалов $(-\infty, 2) \cup (6, \infty)$.

б)

1. Решим уравнение $|x + 3| = 4$.

Перепишем уравнение в виде $|x - (-3)| = 4$. Геометрически это означает, что расстояние от точки $x$ до точки $-3$ равно $4$.

Первая точка: $x_1 = -3 + 4 = 1$.

Вторая точка: $x_2 = -3 - 4 = -7$.

Алгебраически это уравнение равносильно совокупности:

$x + 3 = 4$ или $x + 3 = -4$.

Из первого уравнения получаем $x = 1$. Из второго — $x = -7$.

На координатной прямой это множество изображается двумя закрашенными точками с координатами -7 и 1.

Ответ: Множество состоит из двух точек: $x=-7$ и $x=1$.

2. Решим неравенство $|x + 3| < 4$.

Геометрически, $|x - (-3)| < 4$ означает, что расстояние от точки $x$ до точки $-3$ меньше $4$. Это все точки, лежащие между точками $-3 - 4 = -7$ и $-3 + 4 = 1$.

Алгебраически это неравенство равносильно:

$-4 < x + 3 < 4$

Вычтем $3$ из всех частей неравенства:

$-4 - 3 < x < 4 - 3$

$-7 < x < 1$

На координатной прямой это множество изображается интервалом $(-7, 1)$. Точки -7 и 1 не включаются в множество и изображаются выколотыми точками.

Ответ: Множество точек является интервалом $(-7, 1)$.

3. Решим неравенство $|x + 3| > 4$.

Геометрически, $|x - (-3)| > 4$ означает, что расстояние от точки $x$ до точки $-3$ больше $4$. Это все точки, лежащие левее точки $-3 - 4 = -7$ или правее точки $-3 + 4 = 1$.

Алгебраически это неравенство равносильно совокупности:

$x + 3 > 4$ или $x + 3 < -4$

$x > 1$ или $x < -7$

На координатной прямой это множество изображается объединением двух лучей: $(-\infty, -7)$ и $(1, \infty)$. Точки -7 и 1 не включаются в множество и изображаются выколотыми точками.

Ответ: Множество точек является объединением интервалов $(-\infty, -7) \cup (1, \infty)$.

513 Изобразите на координатной прямой множество точек, заданное неравенством:

а) $|x - 20| < 5$;

б) $|x - 6| > 1$;

в) $|x + 1,5| < 5$;

г) $|x + 0,5| > 2,5$.

а)

Неравенство с модулем вида $|f(x)| < a$ (где $a > 0$) равносильно двойному неравенству $-a < f(x) < a$.В данном случае имеем неравенство $|x - 20| < 5$. Геометрически это означает, что расстояние на координатной прямой от точки $x$ до точки 20 меньше 5.

Перейдем к равносильному двойному неравенству:

$-5 < x - 20 < 5$

Чтобы найти $x$, прибавим 20 ко всем трем частям неравенства:

$-5 + 20 < x - 20 + 20 < 5 + 20$

$15 < x < 25$

Решением является интервал $(15; 25)$. На координатной прямой это множество точек, расположенных между числами 15 и 25. Точки 15 и 25 не включаются в решение, поэтому на прямой они отмечаются выколотыми (пустыми) кружками.

Ответ: $x \in (15; 25)$.

б)

Неравенство с модулем вида $|f(x)| > a$ (где $a > 0$) равносильно совокупности двух неравенств: $f(x) > a$ или $f(x) < -a$.В данном случае имеем неравенство $|x - 6| > 1$. Геометрически это означает, что расстояние на координатной прямой от точки $x$ до точки 6 больше 1.

Перейдем к равносильной совокупности:

$x - 6 > 1$ или $x - 6 < -1$

Решим каждое неравенство:

1) $x - 6 > 1 \implies x > 1 + 6 \implies x > 7$

2) $x - 6 < -1 \implies x < -1 + 6 \implies x < 5$

Решением является объединение двух интервалов: $(-\infty; 5) \cup (7; +\infty)$. На координатной прямой это все точки левее 5 и все точки правее 7. Точки 5 и 7 отмечаются выколотыми кружками.

Ответ: $x \in (-\infty; 5) \cup (7; +\infty)$.

в)

Неравенство $|x + 1,5| < 5$ относится к виду $|f(x)| < a$. Его можно представить в виде $|x - (-1,5)| < 5$. Геометрически это означает, что расстояние от точки $x$ до точки -1,5 меньше 5.

Перейдем к равносильному двойному неравенству:

$-5 < x + 1,5 < 5$

Вычтем 1,5 из всех трех частей неравенства:

$-5 - 1,5 < x + 1,5 - 1,5 < 5 - 1,5$

$-6,5 < x < 3,5$

Решением является интервал $(-6,5; 3,5)$. На координатной прямой это множество точек между -6,5 и 3,5. Граничные точки -6,5 и 3,5 являются выколотыми.

Ответ: $x \in (-6,5; 3,5)$.

г)

Неравенство $|x + 0,5| > 2,5$ относится к виду $|f(x)| > a$. Его можно представить в виде $|x - (-0,5)| > 2,5$. Геометрически это означает, что расстояние от точки $x$ до точки -0,5 больше 2,5.

Перейдем к равносильной совокупности:

$x + 0,5 > 2,5$ или $x + 0,5 < -2,5$

Решим каждое неравенство:

1) $x + 0,5 > 2,5 \implies x > 2,5 - 0,5 \implies x > 2$

2) $x + 0,5 < -2,5 \implies x < -2,5 - 0,5 \implies x < -3$

Решением является объединение двух интервалов: $(-\infty; -3) \cup (2; +\infty)$. На координатной прямой это все точки левее -3 и все точки правее 2. Точки -3 и 2 являются выколотыми.

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (2; +\infty)$.